Dowodowe 2019

[zadaniainfomm]

Liczby a,b,c są dodatnie i są długościami boków trójkąta
które spełniają warunek: ab+ac+bc=27.
Udowodnij że , obwód trójkąta jest nie mniejszy niż 9 i mniejszy niż 11.

[Panko]

Jedno oszacowanie jest natychmiastowe
\((a+b)^2 \ge 4ab, (b+c)^2 \ge 4bc,(c+a)^2 \ge 4ac\)
dodajemy stronami i jest \(a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca\)
uzupełniamy do obwodu dodając \(a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ca \ge 3ab+3bc+3ca\)
\((a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)\)
\((a+b+c)^2 \ge 81\)
\(a+b+c \ge 9\) i dla \(a=b=c=3\) trójkąt równoboczny realizuje minimum =9

[Panko]

Drugie oszacowanie
Jeżeli są długościami boków trójkąta to
\(a<b+c\) \(\\) stąd \(\\) \(a^2<ab+ac\)
\(b<a+c\) \(\\) stąd \(\\) \(b^2<ab+bc\)
\(c<b+a\) \(\\) stąd \(\\) \(c^2<cb+ac\)
stąd
\(a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)\)
stąd
\((a+b+c)^2< 4(ab+bc+ca)\)
\(a+b+c< 6 \sqrt{3}\)

[zadaniainfomm]

dzięki wielkie