Pomoc z dwoma zadaniami z szeregu geometrycznego

[tomasz1902]

Witam Panów
Chciałbym państwa prosić o pomoc w zrobieniu dwóch zadań z szeregu geometrycznego, z które bardzo długo próbuje robić.
Bardzo proszę o pomoc
Pozdrawiam
zad1.
\(x^2+x^3+x^4+...>-1-x\)
zad2.
\(\frac{1}{x+2} + \frac{2x+1}{(x+2)^2} + \frac{(2x+1)^2}{(x+2)^3}+... \ge 3\)

[eresh]

Witam Panów

zad1.
x^2+x^3+x^4+...>-1-x

Panie też tu są

\(q=x\\
|x|<1\\
x\in (-1,1)\)

\(\frac{x^2}{1-x}>-1-x\\
\frac{x^2+(1+x)(1-x)}{1-x}>0\\
(x^2+1-x^2)(1-x)>0\\
1-x>0\\
x<1\; \wedge \;\;x\in (-1,1)\So x\in (-1,1)\)

[eresh]

\(\frac{1}{x+2} + \frac{2x+1}{(x+2)^2} + \frac{(2x+1)^2}{(x+2)^3}+... \ge 3\)

\(q=\frac{2x+1}{x+2}\\
|\frac{2x+1}{x+2}|<1\\
\frac{2x+1}{x+2}-1<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1}{x+2}+1>0\\
\frac{2x+1-x-2}{x+2}<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1+x+2}{x+2}>0\\
(x-1)(x+2)<0\;\;\wedge\;\;(3x+3)(x+2)>0\\
x\in (-2,1)\;\;\wedge\;\;x\in (-\infty, -2)\cup (-1,\infty)\\
x\in (-1,1)\)

\(\frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{2x+1}{x+2}}\geq 3\\

\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x+2-2x-1}\geq 3\\
\frac{1}{1-x}-3\geq 0\\
\frac{1-3+3x}{1-x}\geq 0\\
(3x-2)(1-x)\geq 0\\
x\in [\frac{2}{3},1]\;\; \wedge \;\;x\in (-1,1)\So\\
\So x\in [\frac{2}{3},1)\)

[tomasz1902]

\(\frac{1}{x+2} + \frac{2x+1}{(x+2)^2} + \frac{(2x+1)^2}{(x+2)^3}+... \ge 3\)

\(q=\frac{2x+1}{x+2}\\
|\frac{2x+1}{x+2}|<1\\
\frac{2x+1}{x+2}-1<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1}{x+2}+1>0\\
\frac{2x+1-x-2}{x+2}<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1+x+2}{x+2}>0\\
(x-1)(x+2)<0\;\;\wedge\;\;(3x+3)(x+2)>0\\
x\in (-2,1)\;\;\wedge\;\;x\in (-\infty, -2)\cup (-1,\infty)\\
x\in (-1,1)\)

\(\frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{2x+1}{x+2}}\geq 3\\

\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x+2-2x-1}\geq 3\\
\frac{1}{1-x}-3\geq 0\\
\frac{1-3+3x}{1-x}\geq 0\\
(3x-2)(1-x)\geq 0\\
x\in [\frac{2}{3},1]\;\; \wedge \;\;x\in (-1,1)\So\\
\So x\in [\frac{2}{3},1)\)

Bardzo ci dziękuję za rozwiązanie ale mam jeszcze jedną prośbę, mogłby pan mi wytłumaczyć oba zadania?

[eresh]

\(\frac{1}{x+2} + \frac{2x+1}{(x+2)^2} + \frac{(2x+1)^2}{(x+2)^3}+... \ge 3\)

\(q=\frac{2x+1}{x+2}\\
|\frac{2x+1}{x+2}|<1\\
\frac{2x+1}{x+2}-1<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1}{x+2}+1>0\\
\frac{2x+1-x-2}{x+2}<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1+x+2}{x+2}>0\\
(x-1)(x+2)<0\;\;\wedge\;\;(3x+3)(x+2)>0\\
x\in (-2,1)\;\;\wedge\;\;x\in (-\infty, -2)\cup (-1,\infty)\\
x\in (-1,1)\)

\(\frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{2x+1}{x+2}}\geq 3\\

\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x+2-2x-1}\geq 3\\
\frac{1}{1-x}-3\geq 0\\
\frac{1-3+3x}{1-x}\geq 0\\
(3x-2)(1-x)\geq 0\\
x\in [\frac{2}{3},1]\;\; \wedge \;\;x\in (-1,1)\So\\
\So x\in [\frac{2}{3},1)\)

Bardzo ci dziękuję za rozwiązanie ale mam jeszcze jedną prośbę, mogłby pan mi wytłumaczyć oba zadania?

nie jestem panem, jestem panią
co jest niejasne?

[tomasz1902]

tak naprawdę to wszystko
Przepraszam że tak piszę ale chce to zrozumieć a nie po prostu przepisać rozwiązanie to zeszytu

[eresh]

1. wyznaczasz iloraz ciągu
2. sprawdzasz dla jakich x ciąg ma granicę, czyli rozwiązujesz nierówność |q|<1
3. lewą stronę nierówności zapisujesz za pomocą wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
4. rozwiązujesz nierówność
5. bierzesz część wspólną rozwiązania nierówności z punktów 4 i 2

[tomasz1902]

dziękuje bardzo teraz już rozumiem