forum.zadania.info

Witam, mam problem z kiloma przykładami. Polecenia to:
a) oblicz i zapisz wynik w postaci kartezjańskiej
\(\frac{(1-i)^{17}}{(2+2i)i^{63}}\)
Wyliczyłem licznik \(\to 2^{8} - i2^{8}\). Natomiast nie wiem jak zabrać się za mianownik i czy w ogóle takie wyodrębnianie na rozpisywanie najpierw góry ułamka, a później dołu jest ok?

b) Naszkicuj zbiór:
1.{\(z \in \ccc: Re( \frac{2i}{ \kre{z} } ) \ge 1\) }
Nie wiem jak zacząć.

2.{\(z \in \ccc: z^{2}-2iz+3=0 \wedge |z-2+i|>2\) }
Probówałem tak zrobić 2. podpunkt:
\(|z-z_0| \le R \\ |z-(2-i)|>2 \ \ \rightarrow z_0 = 2 - i \\ z^{2}-2iz+3=0 \rightarrow z_1 = -i \ z_2 = 3i\)
wyznaczyłem okrąg w układzie współrzędnych, zakreskowałem całe zewnętrze tego okręgu, z pierwszego równania dostałem dwa rozwiązania \(z_1 \ , \ z_2\) i zaznaczyłem je w układzie współrzędnych. Rozwiązanie jest w porządku?

Dziękuję z góry za pomoc.

Zadanie b)2 zrobiłem i sprawdziłem już samodzielnie. Jest ktoś, kto mógłby dać mi jakieś wskazówki co do zadania a) oraz b)1 Wiem, że \(Re( \frac{2i}{ \kre{z} } ) \ge 1\) tutaj \(z = a+bi\) i trzeba przyrównać to jakoś do \(\frac{2i}{ \kre{z} }\)?

kamyk2222 pisze:Witam, mam problem z kiloma przykładami. Polecenia to:
a) oblicz i zapisz wynik w postaci kartezjańskiej
\(\frac{(1-i)^{17}}{(2+2i)i^{63}}\)
Wyliczyłem licznik \(\to 2^{8} - i2^{8}\). Natomiast nie wiem jak zabrać się za mianownik i czy w ogóle takie wyodrębnianie na rozpisywanie najpierw góry ułamka, a później dołu jest ok?

\(i^{63}=i^3=-i\)
\((2+2i)i^{63}=-2i+2=2(1-i)\)
czyli
\(\frac{(1-i)^{17}}{(2+2i)i^{63}}= \frac{ 2^{8} - i2^{8}}{2(1-i)}=\frac{ 2^{8}(1-i)}{2(1-i)}=2^7=128\)

b) \(z=x+iy \So \frac{2i}{x+iy}= \frac{2i(x-iy)}{x^2+y^2}= \frac{2xi+2y}{x^2+y^2}\)
Wobec tego \(\Re \left( \frac{2i}{z} \right)= \frac{2y}{x^2+y^2}\) i nierówność
\(\Re \left( \frac{2i}{z} \right) \ge1 \iff x^2+y^2\le 2y \iff x^2+(y-1)^2 \le1\)

Dalej już wiesz co robić ... .

panb pisze:b) \(z=x+iy \So \frac{2i}{x+iy}= \frac{2i(x-iy)}{x^2+y^2}= \frac{2xi+2y}{x^2+y^2}\)
Wobec tego \(\Re \left( \frac{2i}{z} \right)= \frac{2y}{x^2+y^2}\) i nierówność
\(\Re \left( \frac{2i}{z} \right) \ge1 \iff x^2+y^2\le 2y \iff x^2+(y-1)^2 \le1\)

Dalej już wiesz co robić ... .

U mnie było \(Re( \frac{2i}{ \kre{z} } )\). Dzięki tobie zrozumiałem, u mnie było sprzężenie więc po obliczeniach wyszło:
\(x^2+(y+1)^2 \le 1\). Zatem to koło, o środku w punkcie \(x = 1 \iff \Re = 1\) oraz \(y =-1 \iff \Im = -i\), czy to poprawne rozwiązanie tego zadania?

Mógłby ktoś ponadto odnieść się do mojego zadania 2. z głównego postu? Wszystko obliczyłem, tylko czy to dobrze? Według mnie końcowy zbiór to zbiór jednoelementowy \(B = \left\{ 3i \right\}\)? (wziąłem pod uwagę okrąg o środku w punkcie \(S = (2, -i)\), zaznaczyłem obszar poza okręgiem, ponadto dwa pojedyńcze punkty. Jeden leży na okręgu, którego do zbioru nie zaliczamy, a drugi \(3i\) pasuje do warunków zadania).

Dzięki.

OK, nie zauważyłem tej kreseczki, ale przynajmniej wiesz jak to działa.
Drugie zadanie rozwiązałeś prawidłowo.