Witam,
Mam problem gdyż utknąłem w rozwiązywaniu zadania.
Zadanie polega na wyznaczeniu trójkąta ekstremalnego, wykorzystując wzór na obwód
\(2p = a + b + c\)
i wzór Herona na pole
\(p(p−a)(p−b)(p−c)\)
Oczywistym jest iż taki trójkąt to trójkąt równoboczny.
Dowód przeprowadzałem w ten sposób:
1. Zrobiłem funkcje dwóch zmiennych \(f(a,b) = p(p−a)(p−b)(a+b−p)\)
2. Policzyłem pochodne, hesjan, wyznaczyłem maksimum lokalne w punkcie \(( \frac{2p}{3} , \frac{2p}{3} )\), czyli
wnioskuję iż a = b
I tutaj się zaciąłem. Jak dalej przeprowadzić ten dowód? Zgaduję iż muszę jakoś udowodnić iż te
wartości są nie tylko największe lokalnie ale i na całym zbiorze, ale jak?
Wykładowca podpowiedział mi by wykorzystać nierówność z własności trójkąta np. a+b>c, ale nic
mi to nie mówi szczerze jak to pociągnąć.
Prosiłbym o jakąś konkretną wskazówkę.
Z góry dziękuje.
Największy trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Największy trójkąt
z założeniami \(\begin{cases} 0<a<p \\ 0<b<p\end{cases}\)Enhansa pisze: Dowód przeprowadzałem w ten sposób:
1. Zrobiłem funkcje dwóch zmiennych \(f(a,b) = p(p−a)(p−b)(a+b−p)\)
\(a=b=c= \frac{2p}{3}\)Enhansa pisze: 2. Policzyłem pochodne, hesjan, wyznaczyłem maksimum lokalne w punkcie \(( \frac{2p}{3} , \frac{2p}{3} )\), czyli
wnioskuję iż a = b
bo
\(c=2p-a-b\)
Nic więcej nie musisz udowadniać. Dla obszaru określoności optymalizowanej funkcji (założenia powyżej) istnieje tylko jedno jedyne maksimum, i zachodzi ono dla trójkąta równobocznego. C.N.D.Enhansa pisze: Jak dalej przeprowadzić ten dowód? Zgaduję iż muszę jakoś udowodnić iż te
wartości są nie tylko największe lokalnie ale i na całym zbiorze, ale jak?