Mam pytanie co do zbieżności szeregu. Załóżmy, że mam taki szereg: \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{2n}\)
Z kryterium Leibniza \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n a_n\) jest zbieżny, jeżeli \(a_n\) jest malejący, a jego granica jest równa 0 . Czy to kryterium działa kiedy mamy \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n+1} a_n\)? Albo jakąkolwiek \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-x} a_n\) dla \(x \in Z\)?
@Edit
Przy okazji, żeby nie zaśmiecać strony kolejnym postem. Jakie kryterium zastosowalibyście do \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+1)!}\)? d'Alemberta nie da rady.
Kryterium Leibniza
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 04 lut 2018, 15:59
- Podziękowania: 5 razy
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Kryterium Leibniza
Kryterium porównawcze - to rozbieżna bestia.Przy okazji, żeby nie zaśmiecać strony kolejnym postem. Jakie kryterium zastosowalibyście do \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+1)!}\)? d'Alemberta nie da rady.
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Kryterium Leibniza
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n+1}=\) rozbieżny (kryterium nie potrzebne )Ktokolwiek pisze:\
Przy okazji, żeby nie zaśmiecać strony kolejnym postem. Jakie kryterium zastosowalibyście do \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+1)!}\)? d'Alemberta nie da rady.
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 04 lut 2018, 15:59
- Podziękowania: 5 razy
Re:
Nie wiem, czy dobrze Cie zrozumiałem. \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{2n} = \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n}\frac{-1}{2n}\) No i teraz \(a_n = \frac{-1}{2n}\) Faktycznie jego granica to 0, ale na pewno nie jest malejący. W takim razie co? Skoro nie spełnia założeń kryterium to jest rozbieżny?panb pisze:Nie wiem czy to rozwieje twoje wątpliwości, ale \((-1)^{n+i}=(-1)^n \cdot (-1)^i\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Kryterium Leibniza
Najlepiej po prostu zauważyć, że to połowa szeregu anharmonicznego , a ten jest zbieżny.Ktokolwiek pisze:Mam pytanie co do zbieżności szeregu. Załóżmy, że mam taki szereg: \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{2n}\)
Z kryterium Leibniza \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n a_n\) jest zbieżny, jeżeli \(a_n\) jest malejący, a jego granica jest równa 0 . Czy to kryterium działa kiedy mamy \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n+1} a_n\)? Albo jakąkolwiek \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-x} a_n\) dla \(x \in Z\)?
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 04 lut 2018, 15:59
- Podziękowania: 5 razy
Re: Kryterium Leibniza
Dobrze, załóżmy, że ktoś nie dopatrzy się tutaj połowy tego szeregu. Jak więc powinno się rozwiązywać takie szeregi (z dziwnymi potęgami (-1)) z kryterium Leibniza?radagast pisze: Najlepiej po prostu zauważyć, że to połowa szeregu anharmonicznego , a ten jest zbieżny.
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 04 lut 2018, 15:59
- Podziękowania: 5 razy