forum.zadania.info

Ratujesz mi życie w tym nowym roku z tymi zadaniami:)
Mam 30 zadan do rozwiazania każde 5 z innego działu do egzaminu.

Dzięki wielkie za pomoc i życzę wszystkiego dobrego w Nowym Roku:)

lukash-17 pisze: c) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^nn!}{ \left(2n \right)^n }\)

\(\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{3^{n+1}(n+1)!}{ \left(2(n+1) \right)^{n +1}} \cdot \frac{\left(2n \right)^n}{ 3^nn! }=
\frac{3^{n+1}(n+1)!}{ 2^{n +1}(n+1) ^{n +1}} \cdot \frac{2^nn ^n}{ 3^nn! }=
\left( \frac{3}{2} \right) ^{n+1} \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^n \cdot \frac{n ^n}{ (n+1) ^{n }}= \frac{3}{2} \left(\frac{n+1}{n} \right) ^{-n}= \\
\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{ \left(1+ \frac{1}{n} \right) ^n}= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{e}< \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{4}<1\)
zbieżny

piąty zbieżny z kryterium Leibnitza, a czwarty nie wiem ( nie wychodzi mi, chociaż intuicja podpowiada, że zbieżny)

przykład "c"
\(\sum_{ \infty }^{n=1} \frac{3^nn!}{ \left(2n \right)^n }\)
\(\Lim_{n\to - \infty } \frac{3^{n+1}* \left(n+1 \right)! }{2(n+1))^{n+1}}* \frac{(2n)^n}{3^nn!}=\Lim_{n\to - \infty } \frac{3*3^n(n+1)n!}{2(n+1)^n*2(n+1)}* \frac{(2n)^n}{3^nn!}=\)
\(\Lim_{n\to - \infty } \frac{3(2n)^n}{2*(2(n+1))^n}=\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2} \left( \frac{2n}{2(n+1)} \right)^n=\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2} \left( \frac{n}{n(1+ \frac{1}{n} } \right) ^n=\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2} \left( \frac{1}{1+ \frac{1}{n} } \right)^n =\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2} \frac{1^n}{(1+ \frac{1}{n})^n } =\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2e}\)
jest to szereg rozbierzny.

lukash-17 pisze:przykład "c"
\(\sum_{ \infty }^{n=1} \frac{3^nn!}{ \left(2n \right)^n }\)
\(\Lim_{n\to - \infty } \frac{3^{n+1}* \left(n+1 \right)! }{2(n+1))^{n+1}}* \frac{(2n)^n}{3^nn!}=\Lim_{n\to - \infty } \frac{3*3^n(n+1)n!}{2(n+1)^n*2(n+1)}* \frac{(2n)^n}{3^nn!}=\)
\(\Lim_{n\to - \infty } \frac{3(2n)^n}{2*(2(n+1))^n}=\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2} \left( \frac{2n}{2(n+1)} \right)^n=\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2} \left( \frac{n}{n(1+ \frac{1}{n} } \right) ^n=\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2} \left( \frac{1}{1+ \frac{1}{n} } \right)^n =\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2} \frac{1^n}{(1+ \frac{1}{n})^n } =\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2e}\)
jest to szereg rozbierzny.

Raczej nie .
\(\Lim_{n\to - \infty } \frac{3}{2e}=\frac{3}{2e}< \frac{3}{4}<1\) - zbieżny !

dla czego sprawdzasz z \(\frac{3}{4}\)?

lukash-17 pisze:dla czego sprawdzasz z \(\frac{3}{4}\)?

\(e \approx 2,72\), a więc \(e>2\) no to ... ( i tam wszystko napisane)

radagast pisze:\(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{2n^3+4n^2-1}{2n^3+3n} \right)^{3n^2+2}\)
z kryterium Cauchy'ego:
\(\sqrt[n]{\left( \frac{2n^3+4n^2-1}{2n^3+3n} \right)^{3n^2+2}} =\left( \frac{2n^3+4n^2-1}{2n^3+3n} \right)^{ \frac{3n^2+2}{n} } =\left( \frac{2n^3+3n+4n^2-3n-1}{2n^3+3n} \right)^{ \frac{3n^2+2}{n} } =\left(1+ \frac{4n^2-3n-1}{2n^3+3n} \right)^{ \frac{3n^2+2}{n} } =\\
\left(1+ \frac{4n^2-3n-1}{2n^3+3n} \right)^{ \frac{2n^3+3n}{4n^2-3n-1} \cdot \frac{4n^2-3n-1}{2n^3+3n} \cdot \frac{3n^2+2}{n} } =e^{\frac{4n^2-3n-1}{2n^3+3n} \cdot \frac{3n^2+2}{n}}=e^6>1\)
-rozbieżny

a warunek konieczny tutaj nie wychodzi czasem \(\frac{ \infty }{ \infty } \neq 0\)

lukash-17 pisze: a warunek konieczny tutaj nie wychodzi czasem \(\frac{ \infty }{ \infty } \neq 0\)

nie, warunek konieczny wychodzi \(e^ \infty \neq 0\).Istotnie, nie zauważyłam tego. Tak czy siak -rozbieżny.