forum.zadania.info

Udowodnij, że:

\(\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)!-1\)

Całość pewnie dosyć łatwo dowieść na podstawie indukcji matematycznej, jednak problem mam z lewą stroną równania.
Rozwiązywałem podobne zadania na sumę korzystając z takich wzorów/zależności:

\((a+b)^n = \sum_{i=0}^{k} {n \choose k} a^{n-k}b^k
\\ (1+x)^n= \sum_{0}^{n} {n \choose k} x^k
\\ n(1+x)^{n-1}= \sum_{0}^{n} {n \choose k} k \cdot x^{k-1}\)

Co robić gdy mamy do czynienia z silnią w sumie?

\(\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!=(n+1)!-1\)

\(1^0\\n=1\\L=1\cdot1!=1\\P=2!-1=2-1=1\\L=P\)

\(2^0\\Z.\\\sum_{k=1}^n=(n+1)!-1\\T.\\\sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=(n+2)!-1\\D.\\L=\sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=\sum_{k=1}^nk\cdot k!+(n+1)\cdot(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)\cdot(n+1)!=\\=(n+1)!(n+1+1)-1=(n+1)!\cdot(n+2)-1=(n+2)!-1=P\\L=P\\cnd.\)

RozbrajaczZadaniowy pisze:Rozwiązywałem podobne zadania na sumę korzystając z takich wzorów/zależności:

\((a+b)^n = \sum_{i=0}^{k} {n \choose k} a^{n-k}b^k
\\ (1+x)^n= \sum_{0}^{n} {n \choose k} x^k
\\ n(1+x)^{n-1}= \sum_{0}^{n} {n \choose k} k \cdot x^{k-1}\)

Co robić gdy mamy do czynienia z silnią w sumie?

Nic. To kolejny wzorek z setek które poznałeś. Możesz go zapamiętać i używać w tych nielicznych sytuacjach gdy byłby użyteczny, lub zapomnieć o nim. Wzory które wypisałeś są częściej wykorzystywane i dlatego je pamiętasz.

RozbrajaczZadaniowy pisze:Udowodnij, że:

\(\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)!-1\)

Całość pewnie dosyć łatwo dowieść na podstawie indukcji matematycznej, jednak problem mam z lewą stroną równania.

A na czym konkretnie polega ów problem?

Wszystko elegancko tylko nie rozumiem tego przekształcenia.

\(\sum_{k=1}^{n} k \cdot k!= \sum_{k=0}^{n} k \cdot k! - 1 = (n+1)! -1\)

Skąd wiadomo, że \(\sum_{k=0}^{n} k \cdot k! = (n+1)!\)