forum.zadania.info

Witam, bardzo szybkie pytanie. Załóżmy, że mam takie równanie:
\(|x^2-4|+|x^2-1|=4x+1\)
Jak powinno wyglądać jego założenie?
\(4x+1 \ge 0\) czy może \(4x+1>0\)?
Teoretycznie suma dwóch różnych liczb nieujemnych, nie ma prawa być równa 0, więc drugie założenie wygląda na bardziej logiczne.

Pytanie poza konkursowe, jak powinno wyglądać założenie równania \(|x^2-4|-|x^2-1|=4x+1\)?

Mam wrażenie, że mylisz dwa pojęcia:
1) dziedzina równania
2) rozwiązanie równania
To jest tylko tak: "rozwiązanie równania" \(\subset\) "dziedzina równania"
W Twoim zadaniu dziedziną równania jest zbiór R (żadnych założeń nie potrzeba), natomiast zbiór rozwiązań równania jest już znacznie węższy (ma tylko 2 elementy).

Odnosisz się do drugiego pytania czy pierwszego? W pierwszym chyba muszę zrobić jakieś założenie, bo w przeciwnym razie do rozwiązań równania wejdzie "-1", którego w odpowiedziach nie ma, a które pominiemy w przypadku, gdyby \(x >
- \frac{1}{4}\)

@Edit Mój błąd, błędy przy zapisie doprowadziły do złych wyników. Ehh, muszę rozwiązać je na nowo.

odnoszę się do pierwszego , ale w obu przypadkach dziedziną jest R. W drugim przypadku rozwiązanie jest jednoelementowe.

Dobrze, załóżmy więc takie równanie \(|x|=-x^2+12\), tutaj dziedzina również należy do \(R\)?

Jak najbardziej. Dziedziną jest zbiór R. Czyli x należy do R.
Co nie znaczy, że równanie jest spełnione dla wszystkich liczb rzeczywistych. Ono jest spełnione tylko dla \(x \in \left\{ 3,-3\right\}\)

Dziękuję za pomoc.

Żeby nie zaśmiecać kolejny temat jednym pytaniem. Wiemy, że \(|x|=a \So x=a \vee x=-a\).
Czy w takim razie mogę zapisać to równanie \(|x|=-x^2+12\) jako: \(x=-x^2+12 \vee x=x^2-12\)? Czy w takim wypadku muszę zaznaczyć, że \(-x^2+12\) musi mieć wartość nieujemną?

Euvarios pisze:Żeby nie zaśmiecać kolejny temat jednym pytaniem. Wiemy, że \(|x|=a \So x=a \vee x=-a\).
Czy w takim razie mogę zapisać to równanie \(|x|=-x^2+12\) jako: \(x=-x^2+12 \vee x=x^2-12\)? Czy w takim wypadku muszę zaznaczyć, że \(-x^2+12\) musi mieć wartość nieujemną?

Zdecydowanie \(-x^2+12 \ge 0\),bo
\(|x|=a \So a \ge 0\)