OKE POZNAN ze stycznia rozszerzona

[szakal007]

Witam,

własnie przerobiłem tą maturkę:

http://www.zadania.info/74152

i mam pytanie co do zadania 8. Bo mój pomysł to zrobić to z twierdzenia cosinusów. Tzn. bym znalazł punkt przeciecią sie tych prostych. Nastepnie punkty przeciecia sie z osia OX i bym stowrzył trójkąt. Następnie znalazł bym odległosci boków mojego trójkąta i kąt potrzebny z twierdzenia cosinusów. Czy takie rozwiązanie byłoby dobre? Bo tego rozwiązania z odpowiedzi nie rozumiem szczerze mówiąc.

I co wogole sądzicie o tej maturze? Jak dla mnie mogłaby być taka w maju.

Pozdrawiam i czekam na odp.

[bolc]

Ja bym na Twoim miejscu skorzystał z tego, że dwie proste o równaniach kierunkowych \(y=ax+b\) tworzą kąt ostry \(\alpha\) i \(tg\alpha= |\frac{a_1-a_2}{1+a_1a_2}|\). Co do Twojego rozwiązania myślę, że dobre.

[szakal007]

Dzięki za odp !

A powiedz mi skąd wziełeś ten wzór na ten kąt tg? Czyli dwie proste przecinają się pod kątem \alpha , któtego tg wynosi tyle ile podałeś?

[anka]

http://www.math.edu.pl/kat-miedzy-dwiema-prostymi

[supergolonka]

To jest właśnie dlatego fajne zadanie, że używając wzoru z tangensami jest bardzo trudne do rozwiązania. Spróbujcie to tak zrobić to zobaczycie dlaczego.

[szakal007]

supergolonka a co myslisz o moim sposobie z twierdzeniem cosinusów, troche roboty by było, ale by chyba wyszło?

[Lucasus]

Pytanie - czy w zad. 3 suma ma wynosić 255 czy 225??? Bo w zadaniu i odpowiedzi jest coś innego.

[supergolonka]

Szczerze mówiąc jak pisałem rozwiązania do tej matury, to zacząłem pisać III sposób z iloczynu skalarnego, czyli w zasadzie jest to samo (a nawet odrobinę prostsze) co ten pomysł z twierdzeniem cosinusów, ale rachunki wychodzą takie, że dałem sobie spokój. Więc odpowiadając na Twoje pytanie: da się, ale będzie to bardzo trudne (rachunkowo).

[supergolonka]

Pytanie - czy w zad. 3 suma ma wynosić 255 czy 225??? Bo w zadaniu i odpowiedzi jest coś innego.

Tam jest pomyłka, zaraz to poprawię.

[bolc]

To jest właśnie dlatego fajne zadanie, że używając wzoru z tangensami jest bardzo trudne do rozwiązania. Spróbujcie to tak zrobić to zobaczycie dlaczego.

Niestety nie mogę się z tym zgodzić. Moim zdaniem używając tego wzoru zadanie rozwiązuje się najłatwiej i najszybciej. Dzisiaj rozwiązywałem tą maturkę i rozwiązanie tego zadania zajęło mi nie więcej niż 5 minut. Poniżej przedstawiam moje rozwiązanie.

Z. 8

\(f(x)= \frac{4}{3} x+1\) i \(g(x)=-x \sqrt{2} +9\)

\(\alpha\) - oznaczam kąt przecięcia się obu wykresów funkcji i korzystam ze wzoru:

\(tg \alpha = |\frac{a_1-a_2}{1+a_1a_2}|\)

\(a_1= \frac{4}{3}\) i \(a_2=- \sqrt{2}\) Podstawiamy do naszego wzoru:

\(tg \alpha = |\frac{ \frac{4}{3} + \sqrt{2} }{1- \frac{4 \sqrt{2} }{3} }|\)

\(tg \alpha = |\frac{ \frac{4+3 \sqrt{2} }{3}}{\frac{3-4 \sqrt{2} }{3} }|\) opuszczamy znak wartości bezwględnej

\(tg \alpha = \frac{ \frac{4+3 \sqrt{2} }{3}}{\frac{4 \sqrt{2}-3 }{3} }\)

\(tg \alpha =\frac{4+3 \sqrt{2} }{3} \cdot \frac{3}{4 \sqrt{2}-3} \Leftrightarrow tg \alpha = \frac{4+ 3\sqrt{2} }{4 \sqrt{2}-3 }\)

Korzystamy z faktu, że \(tg\) jest stosunkiem dwóch przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym. Oznaczamy sobie odpowiednio \(a=4+ 3\sqrt{2}\) oraz \(b=4 \sqrt{2}-3\). Wystarczy teraz policzyć przeciwprostokątną \(c\)

\(c= \sqrt{(4+ 3\sqrt{2})^2+(4 \sqrt{2}-3)^2} \Leftrightarrow c= \sqrt{16+24 \sqrt{2} +18+32-24 \sqrt{2}+9 } \Leftrightarrow c= \sqrt{75} \Leftrightarrow c=5 \sqrt{5}\)

Wiemy, że \(cos \alpha = \frac{b}{c}\) podstawiamy nasze wartości i mamy:

\(cos \alpha = \frac{4 \sqrt{2}-3}{5 \sqrt{3} } \Leftrightarrow cos \alpha = \frac{4 \sqrt{6}-3 \sqrt{3} }{15}\)

C.N.D
Jeśli jest taka możliwość, to może można by było dodać moje rozwiązanie jako III sposób zrobienia tego zadania ?

Co do samej matury, to moim zdaniem była banalna (jak na poziom rozszerzony), dużo prostsza niż matury publikowane przez zadania info. Rozwiązanie jej zajęło mi około 2 godzin. Wydaje mi się, że w maju będzie trudniejsza.

[supergolonka]

Ok, może przesadziłem, że jest to 'bardzo trudne'. Ale nadal nie jest to łatwe.

[bolc]

No nie jest, ale jak dla mnie to najłatwiejszy spośród możliwych sposobów :p. Kto co woli .