Tw. Lagrange'a - nierówność

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
edwin20
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 63
Rejestracja: 26 sie 2015, 13:21
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Płeć:

Tw. Lagrange'a - nierówność

Post autor: edwin20 »

Uzasadnij nierówność, korzystając z tw. Lagrange'a:
\(\sin x \le |x|\)
\(x \in R\)
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Re: Tw. Lagrange'a - nierówność

Post autor: Panko »

weźmy przedział \(I=\) \([-x,x]\) \(\\) ,\(x \in R\)
\(f(x)= \sin x\) , ciągła w \(I\)
wtedy \(\exists\)\(x_1 \in (-x,x)\) : \(\frac{ \sin x- \sin (-x)}{x-(-x)} = \cos (x_1)\)
czyli \(\\) \(\sin x=x \cdot \cos (x_1)\) stąd \(\\) \(| \sin x|=|x| \cdot |\cos (x_1) |\)

oraz \(\\) \(| \cos (x_1)| \le 1\)

stąd\(\\) \(| \sin x|=|x| \cdot | \cos (x_1)| \le |x|\)

ostatecznie : \(\sin x \le | \sin x| \le |x|\)
ODPOWIEDZ