środek okręgu wpisanego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 488
- Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
- Podziękowania: 229 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
środek okręgu wpisanego
W ostrokątnym trójkącie ABC punkty A' B' i C' są spodkami jego wysokości. Wykazać że ortocentrum trójkąta ABC jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt A"B"C"
- Załączniki
-
- IMG_20161022_160128.jpg (37.55 KiB) Przejrzano 1520 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: środek okręgu wpisanego
Mozna rozumować np tak :
Należy pokazać ,że punkt \(H\) to punkt przecięcia trzech dwusiecznych kątów \(\Delta B'A'C'\).
Dla przykładu uzasadniam ,że \(H\) należy do dwusiecznej kata \(\angle A'B'C'\)
Należy pokazać ,że \(| \angle HB'C'|=| \angle HB'A'|\)
Zauważamy ,że na czworokatach : \(CB'HA'\) , \(AB'HC'\) mozna opisać okręgi bo sumy przeciwległych katów ( tu prostych) dają \(180^ \circ\).
Stąd z tw o katach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu jest dla kolejno tych czworokątów :
\(| \angle HB'A'|=| \angle HCA'|\)
\(| \angle HB'C'| =| \angle HAC'|\)
Teraz łatwo z \(\Delta AA'B\) i \(\Delta CC'B\) oba prostokątne widać , że \(| \angle HAC'|=| \angle HCA'| =90^ \circ -| \angle ABC|\)
Należy pokazać ,że punkt \(H\) to punkt przecięcia trzech dwusiecznych kątów \(\Delta B'A'C'\).
Dla przykładu uzasadniam ,że \(H\) należy do dwusiecznej kata \(\angle A'B'C'\)
Należy pokazać ,że \(| \angle HB'C'|=| \angle HB'A'|\)
Zauważamy ,że na czworokatach : \(CB'HA'\) , \(AB'HC'\) mozna opisać okręgi bo sumy przeciwległych katów ( tu prostych) dają \(180^ \circ\).
Stąd z tw o katach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu jest dla kolejno tych czworokątów :
\(| \angle HB'A'|=| \angle HCA'|\)
\(| \angle HB'C'| =| \angle HAC'|\)
Teraz łatwo z \(\Delta AA'B\) i \(\Delta CC'B\) oba prostokątne widać , że \(| \angle HAC'|=| \angle HCA'| =90^ \circ -| \angle ABC|\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
A ja mam z obrazkiem
Zielone kąty są równe jako wpisane oparte na tym samym łuku.
Pomarańczowe kąty są równe jako wpisane oparte na tym samym łuku.
Zielony równy pomarańczowemu, bo trójkąty ABB' i ACC' są prostokątne i mają wspólny kąt A ( to trzeci też musi być rowny).
No to AA' jest dwusieczną kąta w trójkącie spodkowym. Analogicznie pokazujemy , że BB' jest dwusieczną i teraz wystarczy wiedzieć, że środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych.
dowód przebiega tak:Zielone kąty są równe jako wpisane oparte na tym samym łuku.
Pomarańczowe kąty są równe jako wpisane oparte na tym samym łuku.
Zielony równy pomarańczowemu, bo trójkąty ABB' i ACC' są prostokątne i mają wspólny kąt A ( to trzeci też musi być rowny).
No to AA' jest dwusieczną kąta w trójkącie spodkowym. Analogicznie pokazujemy , że BB' jest dwusieczną i teraz wystarczy wiedzieć, że środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych.