Monotoniczność ciągu - dwa problematyczne zadania
: 12 wrz 2016, 16:37
Witam,
od dłuższego czasu borykam się z dwoma zadaniami, więc postanowiłem zasięgnąć rady kogoś bardziej doświadczonego
. Szczegółowo chodzi o następujące przykłady:
1. Zbadaj monotoniczność ciągu \(a_{n}\) = \(\frac{4n+5}{n+2}\) i ciągu \(b_{n}\)=\(n^{4}\). Uzasadnij, że ciąg \(c_{n}\) = \(a_{n}\) * \(b_{n}\) jest ciągiem rosnącym.
2. Podaj przykład ciągów ( \(a_{n}\)) i ( \(b_{n}\)), które nie są monotoniczne, takich że ciąg \(c_{n}\) = \(a_{n}\) * \(b_{n}\) jest monotoniczny.
Oba zadania pochodzą z ćwiczeń do podręcznika dla szkół ponadgimnazjalnych MATeMAtyka 2 (zakres rozszrzony).
Zadanie pierwsze na pierwszy rzut oka nie sprawia mi problemu, ale mam wątpliwości czy podążam prawidłowym tokiem myślenia:
1. Obliczam wyraz n+1 dla ciągu \(a_{n}\), a następnie od \(a_{n+1}\) odejmuję \(a_{n}\). Daje to wynik 3>0 ciąg jest rosnący dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich.
2. Tak samo postępuję z ciągiem \(b_{n}\)
3. Trzecia część zadania jest trochę mniej zrozumiała. Mnożę oba ciągi (\(a_{n}\)* \(b_{n}\)) i w konsekwencji otrzymuję ułamek \(\frac{4n^{5}+5n^{4}}{n+2}\). Czy jeśli chcę zbadać jego monotoniczność, powinienem odjąć \(c_{n+1}\) - \(c_{n}\). Ta metoda daje mi strasznie skomplikowane ułamki i nie wydaje mi się żeby była prawidłowa. Jak powinienem inaczej do tego podejść?
W linku poniżej dodałem zdjęcia niedokończonego zadania, rozwiązane moim sposobem myślenia.
http://tiny.pl/gw753
Do drugiego zadania nie wiem jak mam podejść, jak należy wyznaczać przykłady ciągów w takich zadaniach, bo domyślam się, że raczej nie metodą prób i błędów.
Pozdrawiam, liczę na pomoc w postaci podpowiedzi lub gotowego rozwiązania.
P.S Nie wynika to z mojego lenistwa, po wielu próbach jestem zmuszony szukać pomocy tutaj
od dłuższego czasu borykam się z dwoma zadaniami, więc postanowiłem zasięgnąć rady kogoś bardziej doświadczonego
. Szczegółowo chodzi o następujące przykłady:1. Zbadaj monotoniczność ciągu \(a_{n}\) = \(\frac{4n+5}{n+2}\) i ciągu \(b_{n}\)=\(n^{4}\). Uzasadnij, że ciąg \(c_{n}\) = \(a_{n}\) * \(b_{n}\) jest ciągiem rosnącym.
2. Podaj przykład ciągów ( \(a_{n}\)) i ( \(b_{n}\)), które nie są monotoniczne, takich że ciąg \(c_{n}\) = \(a_{n}\) * \(b_{n}\) jest monotoniczny.
Oba zadania pochodzą z ćwiczeń do podręcznika dla szkół ponadgimnazjalnych MATeMAtyka 2 (zakres rozszrzony).
Zadanie pierwsze na pierwszy rzut oka nie sprawia mi problemu, ale mam wątpliwości czy podążam prawidłowym tokiem myślenia:
1. Obliczam wyraz n+1 dla ciągu \(a_{n}\), a następnie od \(a_{n+1}\) odejmuję \(a_{n}\). Daje to wynik 3>0 ciąg jest rosnący dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich.
2. Tak samo postępuję z ciągiem \(b_{n}\)
3. Trzecia część zadania jest trochę mniej zrozumiała. Mnożę oba ciągi (\(a_{n}\)* \(b_{n}\)) i w konsekwencji otrzymuję ułamek \(\frac{4n^{5}+5n^{4}}{n+2}\). Czy jeśli chcę zbadać jego monotoniczność, powinienem odjąć \(c_{n+1}\) - \(c_{n}\). Ta metoda daje mi strasznie skomplikowane ułamki i nie wydaje mi się żeby była prawidłowa. Jak powinienem inaczej do tego podejść?
W linku poniżej dodałem zdjęcia niedokończonego zadania, rozwiązane moim sposobem myślenia.
http://tiny.pl/gw753
Do drugiego zadania nie wiem jak mam podejść, jak należy wyznaczać przykłady ciągów w takich zadaniach, bo domyślam się, że raczej nie metodą prób i błędów.
Pozdrawiam, liczę na pomoc w postaci podpowiedzi lub gotowego rozwiązania.
P.S Nie wynika to z mojego lenistwa, po wielu próbach jestem zmuszony szukać pomocy tutaj
