pomocy, grupy

[gollum]

Niech G=R \{-2} oraz dla każdego x,y należącego do G x o y =xy+2x+2y+2
element neutralny to -1
element odwrotny wyszedł mi \(\frac{-(2x+3)}{x+2}\)

a mam problem w : rozwiąż równanie \(x^2=7\)z niewiadomą x.
i czy istnieje rozwiązanie równania \(x^4=7\) znajdź je jeśli tak.

[radagast]

Niech G=R \{-2} oraz dla każdego x,y należącego do G x o y =xy+2x+2y+2
element neutralny to -1
element odwrotny wyszedł mi \(\frac{-(2x+3)}{x+2}\)

a mam problem w : rozwiąż równanie \(x^2=7\)z niewiadomą x.

Dobrze Ci wyszły elementy odwrotny i neutralny
I teraz :
\(x^2=x \circ x=x^2+2x+2x+2=x^2+4x+2\)
czyli równanie \(x^2=7\) to po prostu :\(x^2+4x+2=0\), a ono ma dwa pierwiastki : \(x_1=1\) oraz \(x_2=-5\)

[radagast]

Niech G=R \{-2} oraz dla każdego x,y należącego do G x o y =xy+2x+2y+2 czy istnieje rozwiązanie równania \(x^4=7\) znajdź je jeśli tak.

To jest nieco bardziej skomplikowane rachunkowo:
\(x^4=x \circ x \circ x \circ x=(...)=8x^3+24x^2+32x+14\) ( o ile nie pomyliłam się w rachunkach- sprawdź , trzeba to cierpliwie,kolejno policzyć)

[radagast]

Jeśli tak, to równanie \(x^4=7\) to "po prostu" :
\(x^4+8x^3+24x^2+32x+14=7\) czyli
\(x^4+8x^3+24x^2+32x+7=0\) , a takie rozwiązania ma
bo wykres funkcji \(f(x)=x^4+8x^3+24x^2+32x+7\) jest taki:

ScreenHunter_1526.jpg (19.48 KiB) Przejrzano 2474 razy

ale znaleźć je nie jest łatwo. (Może jednak pomyliłam się w rachunkach ?)

[panb]

Rachunki są ok.
Na szczęście \(x^4+8x^3+24x^2+32x+7=(x^2+4x+1)(x^2+4x+7)\)

[panb]

Niech G=R \{-2} oraz dla każdego x,y należącego do G x o y =xy+2x+2y+2 czy istnieje rozwiązanie równania \(x^4=7\) znajdź je jeśli tak.

To jest nieco bardziej skomplikowane rachunkowo:
\(x^4=x \circ x \circ x \circ x=(...)=8x^3+24x^2+32x+14\) ( o ile nie pomyliłam się w rachunkach- sprawdź , trzeba to cierpliwie,kolejno policzyć)

Można też skorzystać z łączności działania w grupie

• \(x^4=x \circ x \circ x \circ x=(x \circ x) \circ (x \circ x)=(x^2+4x+2) \circ (x^2+4x+2)\)

Rachunki trochę prostsze się stają.