2
Udowodnij, że
a) jeśli a\(\in\)(0,1) i b>1, to prawdziwa jest nierówność
\(log_ab+ \frac{1}{4}log_ba \le -1\)
Udowodnij, że
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
alibaba8000
- Stały bywalec
- Posty: 563
- Rejestracja: 15 paź 2015, 15:46
- Podziękowania: 360 razy
- Płeć:
-
Arni123
- Czasem tu bywam
- Posty: 135
- Rejestracja: 06 wrz 2011, 10:39
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 52 razy
- Płeć:
Re: Udowodnij, że
Możesz to pokazać poprzez ciąg równoważnych przekształceń, np:
\(log_ab+ \frac{1}{4}log_ba \le -1 \iff log_ab+ \frac{1}{4}log_ba +1 \le 0\)
skoro \(0<a<1\) oraz \(b>1\) to \(log_ab<0\), a stąd mamy dalej po przemnożeniu obustronnym przez \(log_ab\)
\(log^2_ab+\frac{1}{4}log_ba\cdot log_ab+log_ab \ge 0\)
jednakże wiadomo, że \(log_ab=\frac{1}{log_ba}\) zatem mamy równoważnie
\(log^2_ab+\frac{1}{4}log_ba\cdot\frac{1}{log_ba}+log_ab \ge 0\), czyli
\(log^2_ab+log_ab +\frac{1}{4} \ge 0\) co z kolei jest równoważne nierówności
\((log_ab+\frac{1}{2})^2 \ge 0\), która jest w oczywisty sposób prawdziwa.
\(log_ab+ \frac{1}{4}log_ba \le -1 \iff log_ab+ \frac{1}{4}log_ba +1 \le 0\)
skoro \(0<a<1\) oraz \(b>1\) to \(log_ab<0\), a stąd mamy dalej po przemnożeniu obustronnym przez \(log_ab\)
\(log^2_ab+\frac{1}{4}log_ba\cdot log_ab+log_ab \ge 0\)
jednakże wiadomo, że \(log_ab=\frac{1}{log_ba}\) zatem mamy równoważnie
\(log^2_ab+\frac{1}{4}log_ba\cdot\frac{1}{log_ba}+log_ab \ge 0\), czyli
\(log^2_ab+log_ab +\frac{1}{4} \ge 0\) co z kolei jest równoważne nierówności
\((log_ab+\frac{1}{2})^2 \ge 0\), która jest w oczywisty sposób prawdziwa.