ZAD. Wykazać że jeśli \(H_1\) oraz \(H_2\) są dzielnikami normalnymi grupy \((G, \circ )\), to \(H_1H_2= \left\{ h_1 \circ h_2:h_1 \in H_1,h_2 \in H_2\right\}\) jest dzielnikiem normalnym grupy.
Proszę o pomoc...
Algebra abstrakcyjna dzielniki normalne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 135
- Rejestracja: 06 wrz 2011, 10:39
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 52 razy
- Płeć:
Re: Algebra abstrakcyjna dzielniki normalne
Chcemy pokazać, że dla dowolnego \(g\in G\) zachodzi \(gH_1H_2=H_1H_2g\). Niech zatem \(g\in G\), wówczas:
\(gH_1H_2= \left\{g\circ(h_1\circ h_2) : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=\left\{(g\circ h_1)\circ h_2 : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}\)
\(=\left\{(h_1\circ g)\circ h_2 : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=\left\{h_1\circ (g\circ h_2) : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=\)
\(\left\{h_1\circ (h_2\circ g) : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=\left\{(h_1\circ h_2)\circ g : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=H_1H_2g\)
Korzystaliśmy z faktu ,że \(H_1,H_2\) są podgrupami normalnymi, a zatem i grupami.
\(gH_1H_2= \left\{g\circ(h_1\circ h_2) : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=\left\{(g\circ h_1)\circ h_2 : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}\)
\(=\left\{(h_1\circ g)\circ h_2 : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=\left\{h_1\circ (g\circ h_2) : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=\)
\(\left\{h_1\circ (h_2\circ g) : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=\left\{(h_1\circ h_2)\circ g : h_1\in H_1, h_2\in H_2 \right\}=H_1H_2g\)
Korzystaliśmy z faktu ,że \(H_1,H_2\) są podgrupami normalnymi, a zatem i grupami.