Dowód

[amberxx]

Wykaż, że liczba \(5^{300}-3 \cdot 5^{200}-5^{100}+3\) jest podzielna przez 48.

[irena]

\(5^{300}-3\cdot5^{200}-5^{100}+3=5^{300}-5^{100}-2\cdot5^{200}+2\cdot5^{100}-3\cdot5^{100}+3=\\=5^{200}(5^{100}-1)-2\cdot5^{100}(5^{100}-1)-3(5^{100}-1)=(5^{100}-1)(5^{200}-2\cdot5^{100}-3)=\\=(5^{100}-1)(5^{100}+1)(5^{100}-3)\)

Liczby:
\(a=5^{100}-3\\b=5^{100}-1\\c=5^{100}+1\)
to 3 kolejne liczby parzyste.

Wśród takich liczb jest:
- jedna dzieląca się przez 4 i inna parzysta (dająca w dzieleniu przez 4 resztę 2)
- jedna liczba dzieląca się przez 3.

Iloczyn tych liczb dzieli się więc przez
\(4\cdot2\cdot3=48\)