Proste prawdopodobieństwo

[edwin20]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Spośród wszystkich liczb naturalnych większych od 4000 i mniejszych od 6000 losujemy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to liczba parzysta, w której co najmniej jedna cyfra jest piątką?

[wrobel93b]

Interesuje nas przedział liczbowy \((4000, 6000)\), jest tam dokładnie \(6000 - 4000 - 1 = 1999\) liczb (bo mają być większe od \(4000\), czyli ona nas nie interesuje, podobnie z \(6000\)).

1) Rozpatrzmy wpierw prostsze zadanie:
Ile jest liczb podzielnych przez dwa (parzystych) w podanym przedziale?

Wiemy, że to są takie liczby, które kończą się \(\{0, 2, 4, 6, 8 \}\), zatem jest ich \(5\).
Czyli teraz możemy zakodować całą liczbę czterocyfrową:

xxxx (pierwszą liczbę ze zbioru \(\{4, 5 \}\), drugą - dowolna (\(10\)), trzecia - dowolna (\(10\)), czwarta - \(5\) możliwości (jak wyżej)).

(Uwaga: Powyżej uwzględniliśmy również liczbę 4000, więc należy ją odjąć od wyniku końc\(\)owego)

Zatem liczb parzystych w tym przedziale jest: \((2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5) - 1= 999\).

2) Ile jest liczb parzystych, które nie zawierają piątki?

Podobnie jak wyżej - tylko tutaj staramy się wyrzucić z możliwości piątkę, zatem:

- pierwsza liczba - może być tylko czwórką (jeden sposób)
- druga liczba - wyrzucamy piątkę, zostaje 9 liczb - \(9\)
- trzecia liczba - wyrzucamy piątkę, zostaje 9 liczb - \(9\)
- czwarta liczba - zbiór taki jak wyżej (należy pamiętać o 4000, aby ją odjąć) - \(5\)

xxxx (\((1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 5) - 1 = 405 - 1 = 404\)

3) Liczb parzystych, które zawierają co najmniej jedną piątkę

Jest dokładnie: \(999 - 404 = 595\)

Czyli prawdopodobieństwo wynosi: \(\frac{595}{1999}\)

[pytajnik++]

Wszystkich liczb naturalnych wiekszych od 4000 i mniejszych od 6000 mamy tyle ile liczb naturalnych od 4001 do 6000(rownie dobrze mozna wykorzystac tu wzor na wyraz ogolny ciagu arytmetycznego z pierwsza liczba 4001 i ostatnia 5999) i jest to nasza przestrzen. Czyli:
\(\overline{\overline{\Omega}}=6000-4001=1999\)

Zdarzenia elementarne to takie w ktorych co najmniej jedna liczba to piatka i ma to byc liczba parzysta. Wystarczy wiec zagwarantowac, ze na ostatnim miejscu w naszej liczbie bedzie wystepowac cyfra parzysta. Musimy osobno rozpisac liczby z pierwsza cyfra 4 i osobno z pierwsza cyfra 5.

Jezeli pierwsza cyfra jest 4 to mozemy miec dwie piatki lub jedna piatke(pamietajac ze na ostanim miejscu musimy miec cyfre parzysta). Jezeli mamy dwie piatki to wtedy na ostatnia cyfre mamy 5 mozliwosci(0,2,4,6,8). Jezeli natomiast mamy jedna piatke to miejsce dla tej piatki wybieramy na 2 sposoby potem na 5 sposobow ostatnia cyfre i jeszcze jedna cyfre na 9 sposobow(nie moze byc to 5). W sumie mamy wiec:

\(5+2 \cdot 5 \cdot 9=95\)

Jezeli pierwsza cyfra jest 5 to mozemy dopisac zero piatek 1 piatke lub 2 piatki(pamietajac ze na ostanim miejscu musimy miec cyfre parzysta). Jezeli dopisujemy 0 piatek to ostatnia cyfre wybieramy na 5 sposobow potem pozostale dwie cyfry(srodkowe) mozemy wybrac na \(9 \cdot 9\) sposobow(nie moze byc piatki). Jezeli dopiszemy jeszcze 1 piatke to ostatnia cyfre wybieramy na 5 sposobow miejsce dla jednej piatki na dwa sposoby oraz jeszcze jedna cyfre na 9 sposobow(bez piatki). Jezeli natomiast dopiszemy jeszcze 2 piatki to mozemy tylko wybrac ostatnia cyfre na 5 sposobow. W sumie mamy wiec:

\(5 \cdot 9 \cdot 9+5 \cdot 2 \cdot 9+5=500\)

Wszystkich zdarzen elementarnych mamy: \(95+500=595\) i szukane prawdopodobienstwo to:

\(P= \frac{595}{1999}\)