parametr m w podstawie logarytmu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
pankleks1000
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 63
Rejestracja: 25 mar 2016, 23:23
Lokalizacja: Usa
Podziękowania: 36 razy
Płeć:
Kontakt:

parametr m w podstawie logarytmu

Post autor: pankleks1000 »

Wyznacz wszystkie wartosci parametru m, dla których równanie \(log_m(x^2-4x+4)=2\) ma dwa różne dodatnie rozwiązania.
pytajnik++
Moderator
Moderator
Posty: 107
Rejestracja: 12 sie 2015, 18:11
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 80 razy

Post autor: pytajnik++ »

Mamy funkcje \(log_m(x^2-4x+4)=2\)

rozpatrzmy przypadki ze wzgledu na podstawe logarytmu:

\(1^o\) \(m \in (0;1)\)

Mamy wiec z definicji logarytmu:
\(m^2=x^2-4x+4\)
\(x^2-4x+4-m^2=0\)

aby to rownanie mialo dwa rozne dodatnie rozwiazania potrzebujemy takich warunkow(wykorzystamy wzory Viete'a):

\(\Delta >0 \iff 16-16+4m^2>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1x_2>0 \iff \frac{4}{1}>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1+x_2>0 \iff \frac{4-m^2}{1}>0 \iff m^2-4<0 \iff m \in (-2;2)\)

Zatem sumujac wszystkie te warunki, wlacznie z tym ze \(m \in (0;1)\) mamy \(m \in (0;1)\)

teraz drugi przypadek \(2^o\) \(m \in (1;+ \infty )\)

tu robimy dokladnie to samo co w pierwszym przypadku.

mamy z definicji logarytmu:
\(m^2=x^2-4x+4\)
\(x^2-4x+4-m^2=0\)

aby to rownanie mialo dwa rozne dodatnie rozwiazania potrzebujemy takich warunkow(wykorzystamy wzory Viete'a):

\(\Delta >0 \iff 16-16+4m^2>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1x_2>0 \iff \frac{4}{1}>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1+x_2>0 \iff \frac{4-m^2}{1}>0 \iff m^2-4<0 \iff m \in (-2;2)\)

Zatem sumujac wszystkie te warunki, wlacznie z tym ze \(m \in (1;+ \infty )\) mamy \(m \in (1;2)\)

Ostatecznie nasza odpowiedz to \(m \in (0;1) \cup (1;2)\)
ODPOWIEDZ