szescian
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kate84
- Stały bywalec
- Posty: 758
- Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
- Podziękowania: 269 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
szescian
Dany jest sześcian o krawędzi a. Środki jego ścian łączymy kolejno odcinkami. Środki otrzymanego ośmiościanu znowu łączymy odcinkami itd. Oblicz sumę objętości wszystkich otrzymanych w ten sposób sześcianów.
Odcinek łączący przeciwległe wierzchołki ośmiościanu ma długość a.
Krawędzie takiego ośmiościanu mają długość równą \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
h- wysokość ściany bocznej
\(h=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\)
A, B, C, D- środki ścian bocznych sześcianu
P, S- środki podstaw sześcianu
K- środek krawędzi AB
L- środek krawędzi CD ośmiościanu
Mamy równoramienny trójkąt KLP, w którym:
\(|KP|=|KL|=\frac{a\sqrt{6}}{4}\\|KL|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
R- środek podstawy KL
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta PRL:
\(|PR|^2+(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2=(\frac{a\sqrt{6}}{4})^2\\|PR|^2=\frac{6}{16}a^2-\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{4}a^2\\|PR|=\frac{a}{2}\)
Zaznacz teraz punkty:
T, W na boku KL
Q na boku LP
Z na boku KP
tak, że czworokąt TWQZ jest prostokątem oraz:
\(|TZ|=|QW|=x\\|TR|=|RW|=x\sqrt{2}\)
Y- punkt przecięcia wysokości PR z bokiem prostokąta QZ
Trójkąty KRP i ZYP są podobne
\(|RY|=x\\|PY|=\frac{1}{2}a-x\\|ZY|=x\sqrt{2}\\|KR|=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
Z podobieństwa trójkątów;
\(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}a}=\frac{x\sqrt{2}}{\frac{1}{2}a-x}\\\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{\frac{1}{2}a-x}\\\frac{2x}{a-2x}=\frac{1}{2}\\4x=a-2x\\6x=a\\2x=\frac{1}{3}a\)
Odcinek o długości 2x to krawędź drugiego z sześcianów
\(V_1=a^3\\V_2=(2x)^3=(\frac{1}{3}a)^3=\frac{1}{27}a^3\)
Mamy nieskończony ciąg geometryczny \((b_n)\), w którym:
\(b_1=a^3\\q=\frac{1}{27}\)
Suma tego ciągu:
\(S=\frac{a^3}{1-\frac{1}{27}}=\frac{a^3}{\frac{26}{27}}=\frac{27}{26}a^3\)
Krawędzie takiego ośmiościanu mają długość równą \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
h- wysokość ściany bocznej
\(h=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\)
A, B, C, D- środki ścian bocznych sześcianu
P, S- środki podstaw sześcianu
K- środek krawędzi AB
L- środek krawędzi CD ośmiościanu
Mamy równoramienny trójkąt KLP, w którym:
\(|KP|=|KL|=\frac{a\sqrt{6}}{4}\\|KL|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
R- środek podstawy KL
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta PRL:
\(|PR|^2+(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2=(\frac{a\sqrt{6}}{4})^2\\|PR|^2=\frac{6}{16}a^2-\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{4}a^2\\|PR|=\frac{a}{2}\)
Zaznacz teraz punkty:
T, W na boku KL
Q na boku LP
Z na boku KP
tak, że czworokąt TWQZ jest prostokątem oraz:
\(|TZ|=|QW|=x\\|TR|=|RW|=x\sqrt{2}\)
Y- punkt przecięcia wysokości PR z bokiem prostokąta QZ
Trójkąty KRP i ZYP są podobne
\(|RY|=x\\|PY|=\frac{1}{2}a-x\\|ZY|=x\sqrt{2}\\|KR|=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
Z podobieństwa trójkątów;
\(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}a}=\frac{x\sqrt{2}}{\frac{1}{2}a-x}\\\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{\frac{1}{2}a-x}\\\frac{2x}{a-2x}=\frac{1}{2}\\4x=a-2x\\6x=a\\2x=\frac{1}{3}a\)
Odcinek o długości 2x to krawędź drugiego z sześcianów
\(V_1=a^3\\V_2=(2x)^3=(\frac{1}{3}a)^3=\frac{1}{27}a^3\)
Mamy nieskończony ciąg geometryczny \((b_n)\), w którym:
\(b_1=a^3\\q=\frac{1}{27}\)
Suma tego ciągu:
\(S=\frac{a^3}{1-\frac{1}{27}}=\frac{a^3}{\frac{26}{27}}=\frac{27}{26}a^3\)
