funkcja kwadratowa z logarytmem

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dobrzyc
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 239
Rejestracja: 31 sty 2016, 11:51
Podziękowania: 146 razy
Płeć:

funkcja kwadratowa z logarytmem

Post autor: dobrzyc »

Dana jest funkcja \(f(x)= log (\frac{1}{2} x^2 + (m+1)x -m-1)\)
. Dla jakich wartosci parametru m dziedziną tej funkcji jest zbior liczby rzeczywistych?
*******
Dlaczego delta musi byc mniejsza od 0?
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9162 razy

Post autor: Galen »

Wartość logarytmowana musi być dodatnia,czyli musi być spełniona nierówność:
\(\frac{1}{2}x^2+(m+1)x-m-1>0\)
dla wszystkich liczb rzeczywistych.
W nierówności jest funkcja kwadratowa,to jej wykres (parabola ramionami ku górze) musi leżeć powyżej osi OX.
Oznacza to,że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych,stąd delta ujemna.
\(\Delta=(m+1)^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-m-1)<0\)
\(\Delta=(m+1)^2+2(m+1)=m^2+2m+1+2m+2=m^2+4m+3\\\Delta<0\;\;\;\;czyli\;\;\;\;\;m^2+4m+3<0\)
Znów masz nierówność kwadratową,ale z niewiadomą m.
\(\Delta_m=16-4 \cdot 3=4\\ \sqrt{ \Delta _m}=2\\m_1=-3\\m_2=-1\\m\in (-3;-1)\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Awatar użytkownika
denatlu
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1107
Rejestracja: 10 mar 2012, 12:35
Lokalizacja: Lublin
Podziękowania: 145 razy
Otrzymane podziękowania: 344 razy
Płeć:

Post autor: denatlu »

Dziedziną logarytmu są wszystkie liczby \(>\). Dziedzinę wyraża wzór w nawiasie. Aby był on zawsze \(>\), to po uwzględnieniu, że współczynnik paraboli jest dodatni (wykres z ramionami do góry), wyrażenie z nawiasu nie może mieć miejsc zerowych. Więc obliczamy \(\Delta<0\) i otrzymujemy zakres parametru \(m\)
gg: 4987844
Spoiler
.\begin{cases} x \\ y \\ z \end{cases} - układ równań
\frac{}{} - ułamek
\sqrt{} - pierwiastek
ODPOWIEDZ