prosze o pomoc :
Z wycinka koła o kącie 120 utworzono powierzchnie boczna stożka. z pozostałej części koła utworzono powierzchnie boczną stożka . oblicz stosunek objętości otrzymanych stożków.
odp pier z 10 przez 10
stożek
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
pytajnik++
- Moderator
- Posty: 107
- Rejestracja: 12 sie 2015, 18:11
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 80 razy
Re: stożek
sprobujmy narysowac takie dwa wycinki jeden o kacie \(120^o\) a drugi o kacie \(240^o\)
jedyna wartosc ktora nie zmienia sie w tych obu wycinkach to wartosc \(l\) czyli wartosc tworzacej stozka. Policzmy wiec objetosc obu tych stozkow w zaleznosci od \(l\). Liczymy,
stozek pierwszy:
\(120^o\)= \(\frac{2}{3} \pi\)
Korzystajac z definicji miary lukowej kata mamy:
\(\frac{2 \pi r_1}{l}= \frac{2}{3} \pi\)
\(r_1= \frac{1}{3}l\)
Wysokosc stozka liczymy z twierdzenia Pitagorasa, poniewaz w przekroju osiowym tworzaca jest przeciwprostokatna a promien i wysokosc stozka sa przyprostokatnymi, wiec mamy:
\(h= \sqrt{l^2- \frac{1}{9}l^2 }= \frac{2 \sqrt{2} }{3}l\)
i objetosc:
\(\large{V_1= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{1}{9}l^2 \cdot \frac{2 \sqrt{2} }{3}l= \frac{2 \sqrt{2}l^3 \pi }{81}}\)
stozek drugi:
\(240^o= \frac{4}{3} \pi\)
Korzystajac z definicji miary lukowej kata mamy:
\(\frac{2 \pi r_2}{l} = \frac{4}{3} \pi\)
\(r_2= \frac{2}{3}l\)
Liczymy wysokosc stozka drugiego identycznie jak dla stozka pierwszego:
\(h= \sqrt{l^2- \frac{4}{9}l^2 } = \frac{ \sqrt{5} }{3}l\)
i objetosc:
\(\large{V_2= \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4}{9}l^2 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{3}l= \frac{4 \sqrt{5}l^3 \pi }{81}}\)
zatem stosunek objetosci tych stozkow wynosi:
\(\LARGE{\frac{V_1}{V_2}= \frac{\frac{2 \sqrt{2}l^3 \pi }{81}}{\frac{4 \sqrt{5}l^3 \pi }{81}}= \frac{2 \sqrt{2} }{4 \sqrt{5} }= \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} }{4 \cdot 5} = \frac{2 \sqrt{10} }{4 \cdot 5}= \frac{ \sqrt{10} }{10} }\)
- 1.png (12.52 KiB) Przejrzano 2451 razy
stozek pierwszy:
\(120^o\)= \(\frac{2}{3} \pi\)
Korzystajac z definicji miary lukowej kata mamy:
\(\frac{2 \pi r_1}{l}= \frac{2}{3} \pi\)
\(r_1= \frac{1}{3}l\)
Wysokosc stozka liczymy z twierdzenia Pitagorasa, poniewaz w przekroju osiowym tworzaca jest przeciwprostokatna a promien i wysokosc stozka sa przyprostokatnymi, wiec mamy:
\(h= \sqrt{l^2- \frac{1}{9}l^2 }= \frac{2 \sqrt{2} }{3}l\)
i objetosc:
\(\large{V_1= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{1}{9}l^2 \cdot \frac{2 \sqrt{2} }{3}l= \frac{2 \sqrt{2}l^3 \pi }{81}}\)
stozek drugi:
\(240^o= \frac{4}{3} \pi\)
Korzystajac z definicji miary lukowej kata mamy:
\(\frac{2 \pi r_2}{l} = \frac{4}{3} \pi\)
\(r_2= \frac{2}{3}l\)
Liczymy wysokosc stozka drugiego identycznie jak dla stozka pierwszego:
\(h= \sqrt{l^2- \frac{4}{9}l^2 } = \frac{ \sqrt{5} }{3}l\)
i objetosc:
\(\large{V_2= \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4}{9}l^2 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{3}l= \frac{4 \sqrt{5}l^3 \pi }{81}}\)
zatem stosunek objetosci tych stozkow wynosi:
\(\LARGE{\frac{V_1}{V_2}= \frac{\frac{2 \sqrt{2}l^3 \pi }{81}}{\frac{4 \sqrt{5}l^3 \pi }{81}}= \frac{2 \sqrt{2} }{4 \sqrt{5} }= \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} }{4 \cdot 5} = \frac{2 \sqrt{10} }{4 \cdot 5}= \frac{ \sqrt{10} }{10} }\)