Szykuje mi się kolokwium z ekonomii matematycznej.. Jestem do tyłu z materiałem, ponieważ przez chorobę opuściłam zajęcia, na których wyznaczaliśmy koszyki optymalne.. Znalazłam 3 przykładowe zadania, które próbowałam rozwiązać. Mogłabym prosi o sprawdzenie i ewentualne wskazówki/korektę ?
1. Konsument uważa herbatę i kawę za doskonałe substytuty i zgodzi się zamienić 3 filiżanki herbaty na 4 filiżanki kawy i na odwrót. Jaki jest optymalny koszyk kawy i herbaty, jeżeli filiżanka herbaty kosztuje 4 zł, a filiżanka kawy 5 zł, natomiast dochód konsumenta, jaki może przeznaczyć na kawę i herbatę wynosi 20 zł.
Linię budżetową i zbiór budżetowy umiem wyznaczyć. Mam problem z zapisaniem "3 filiżanki herbaty na 4 filiżanki kawy i na odwrót". Chodzi tutaj o wyznaczenie funkcji użyteczności ?
2. Treść taka sama tylko 3 filiżanki herbaty na 3 filiżanki kawy i na odwrót, filiżanka herbaty kosztuje 4 zł, filiżanka kawy 5 zł, dochód wynosi 40 zł.
\(u(x1,x2) = 3x _{1}+3x _{2}\)
Linia budżetowa: \(4x _{1}+5x _{2} = 40\)
Wyznaczyłam sobie punkty
\(x_{1} = 0 \wedge x_{2} = 8\)
\(x_{1} = 10 \wedge x_{2}=0\)
Wybrałam przykładowy koszyk, np. (1,2) - jego użyteczność wynosi \(9\)
Teraz wyznaczyłam punkty ze wzoru funkcji użyteczności \(3x_{1} + 3x_{2} = 9\)
\(x_{1} = 0 \wedge x_{2} = 3\)
\(x_{1} = 3 \wedge x_{2} = 0\)
Nie jest to optymalny koszyk, ponieważ leży pod linią budżetową a więc są lepsze.. i tak optymalny koszyk będzie w pkt \((10,0)\)?
3. Konsument uważa kawę i herbatę za dobra doskonale komplementarne i spożywa je w stosunku 2:3. Jaki jest optymalny koszyk kawy i herbaty, jeżeli filiżanka kawy kosztuje 3zł, a filiżanka herbaty 4zł, natomiast dochód konsumenta jaki może przeznaczyć na kawę i herbatę wynosi 24zł.
Tutaj skorzystałam z min\(\left\{ \frac{x_{1}}{2}, \frac{x_{2}}{3} \right\}\) - sprowadziłam sobie do wspólnego mianownika min\(\left\{ \frac{x_{1}}{6}, \frac{x_{2}}{6} \right\}\)
Linię budżetową wyznaczyłam tak jak w zadaniu 2. Wzięłam sobie przykładowy koszyk (2,4) i wyszło mi min\(\left\{ \frac{2}{6}, \frac{4}{6} \right\}\)= min\(\frac{1}{3}\)
Później skorzystałam z założeń, że:
\(\frac{x_{1}}{2} = \frac{1}{3} \wedge \frac{x_{2}}{3} \ge \frac{1}{3}\)
wyszło mi \(x_{1} = \frac{2}{3} \wedge x_{2} \ge 1\)
Tak samo zrobiłam z drugim założeniem i wyszedł mi punkt \(x_{1} \ge \frac{2}{3} \wedge x_{2} = 1\)
Punkt leży pod linią budżetową więc szukam innego koszyka i w tym celu rozwiązuję układ równań
\(x_{2} = \frac{3}{2}x_{1}\)
\(3x_{1} + 4x_{2} = 24\)
Tutaj może zakończę, bo jeżeli okaże się, że całkowicie wszystko pomieszałam to oszczędzę Wam dalszego czytania takich bzdur
Za każdą wskazówkę/pomoc dziękuję Nie zależy mi na rozwiązaniu zadań tylko na wyłapaniu błędów i podaniu wskazówek Wtedy sama dojdę do tego jak poprawnie powinno być Bardzo dziękuję za pomoc