trójkąt równoboczny

[patryk97]

Dany jest trójkąt równoboczny ABC, punkt D jest środkiem boku AB. Przez punkt D poprowadzono prostą pod pewnym kątem, tak że przecięła ona bok BC tworząc punkt E. Udowodnij, że jeżeli Pole trójkąta DBE stanowi \(\frac{1}{8}\)pole trójkąta ABC to \(\alpha =30 ^\circ\)

[Panko]

przyjmuje bok trójkąta \(\Delta ABC\) jako \(2\) , bo się łatwo liczy .

wtedy pole \(\Delta ABC= \sqrt{3}\)

wtedy pole \(\Delta DBE=\frac{1}{2} \cdot |DB| \cdot |BE| \cdot \sin 60^ \circ =\frac{ \sqrt{3} }{4} \cdot |BE|\)

oraz Pole\(\Delta DBE=\frac{ \sqrt{3} }{4} \cdot |BE|= \frac{1}{8 } \cdot\) Pole \(\Delta ABC\) co daje \(|BE|=\frac{1}{2}\)

dalej liczę teraz \(|DE|\) z tw kosinusów : \(|DE|^2=|DB|^2+|BE|^2-2 \cdot | DB | \cdot |BE| \cdot \cos 60^ \circ\)
co daje po podstawieniu \(|DE|^2=1^2+( \frac{1}{2} )^2-2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\) czyli \(|DE|=\frac{ \sqrt{3} }{2}\)

teraz z odwrotnego tw Pitagorasa jest ,że \(\Delta DEB\) jest prostokątny ( bo \(( \frac{ \sqrt{3} }{2} )^2+ ( \frac{ 1 }{2} )^2=1^2\) i mara kąta \(|EDB|=30^ \circ\)
.........................
uff ..sam bym sobie za dłużyznę wystawił co najwyżej dop.

[pytajnik++]

Zaczynamy od rysunku.

3.png (11.93 KiB) Przejrzano 2170 razy

Oznaczenia takie jak na rysunku. Piszemy w \(\Delta EBK\),
\(\frac{h}{x}= \tg {60^o}\)
\(x= \frac{ \sqrt{3} }{3}h\)

Teraz piszemy to co mamy w tresci zadania,
\(P_{ABC}=8 \cdot P_{DBE}\)
\(\frac{4a^2 \sqrt{3} }{4} =8 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)
\(h= \frac{a \sqrt{3} }{4}\)
czyli:
\(x=\frac{ \sqrt{3} }{3}h= \frac{ \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{4} = \frac{3a}{12}= \frac{a}{4}\), wiec
\(a-x=a- \frac{a}{4}= \frac{3a}{4}\)
i teraz w \(\Delta DKE,\)
\(\frac{h}{a-x}= \tg \alpha\)
\(\frac{a \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{4}{3a} = \tg \alpha\)
\(\tg \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{3}\)
\(\alpha =30^o\)