Uzasadnij, że
\(2 (1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{2010}) < 3^{2011}\).
Ja na razie zauważyłam tylko ,że \(2 (3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^{2010}) < 3^{2011}\) , ale nie wiem co dalej zrobić. Proszę o pomoc
Zadanie ze zbioru Aksjomat - Toruń
Dowód. Potęgowanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Można zauważyć, że wyrażenie w nawiasie jest sumą n wyrazów ciągu geometrycznego, w którym
\(a_1=3^{0}=1\)
\(q=3\)
\(n=2011\)
POstawiając do wzoru na sumę cześciową ciągu geometrycznego
\(S_n=a_1* \frac{1-q^{n}}{1-q}\)
mamy:
\(S_{2011}=1* \frac{1-3^{2011}}{1-3}=\frac{1-3^{2011}}{-2}=\frac{3^{2011}-1}{2}\)
Podstawiając do nierówności otrzymujemy:
\(2*\frac{3^{2011}-1}{2}<3^{2011}\)
czyli
\(3^{2011}-1<3^{2011}\)
co jest równowazne, że
\(-1<0\)
To jest nierównośc prawdziwa, więc założenie o prawdziwości ierówności podanej w zadaniu jest słuszne.
Powodzenia.
\(a_1=3^{0}=1\)
\(q=3\)
\(n=2011\)
POstawiając do wzoru na sumę cześciową ciągu geometrycznego
\(S_n=a_1* \frac{1-q^{n}}{1-q}\)
mamy:
\(S_{2011}=1* \frac{1-3^{2011}}{1-3}=\frac{1-3^{2011}}{-2}=\frac{3^{2011}-1}{2}\)
Podstawiając do nierówności otrzymujemy:
\(2*\frac{3^{2011}-1}{2}<3^{2011}\)
czyli
\(3^{2011}-1<3^{2011}\)
co jest równowazne, że
\(-1<0\)
To jest nierównośc prawdziwa, więc założenie o prawdziwości ierówności podanej w zadaniu jest słuszne.
Powodzenia.