forum.zadania.info

Dla jakich wartości parametru p równanie 〖cos〗^3 x+pcosx+p+1=0 ma dokładnie trzy rozwiązania w przedziale 〈0;2π〉.
Wychodzi mi, że dla p<-3/4, ale czy mam rację?

jakub2001 pisze:Dla jakich wartości parametru p równanie 〖cos〗^3 x+pcosx+p+1=0 ma dokładnie trzy rozwiązania w przedziale 〈0;2π〉.
Wychodzi mi, że dla p<-3/4, ale czy mam rację?

nie masz racji, zobacz co się dzieje gdy p=-3

\(cosx=t\;\;\;\;i\;\;\;t\in <-1;1>\)
\(t^3+pt+p+1=0\\(t^3+1)+(pt+p)=0\\(t+1)(t^2-t+1)+p(t+1)=0\\(t+1)(t^2-t+1+p)=0\\t_1=-1\;\;czyli\;\;cosx=-1\;\;stąd\;\;x=\pi\)
Drugie równanie
\(t^2-t+1+p=0\)
musi mieć dwa rozwiązania t większe od liczby (-1) i jednocześnie mniejsze bądź równe 1.
Liczę deltę,która ma być większa od zera,potem \(t_1\;\;\;i\;\;\;t_2\) ,następnie rozwiązuję nierówności:
\(-1<t_1\le 1\;\;\;\;i\;\;\;\;-1<t_2\le 1\)
i mam wynik...

Oczywiście! Dziękuję!

Porządkuję sobie właśnie rozwiązania z poprzednich edycji "Diamentowego indeksu", ba następna niedługo, i znalazłam to zadanko, czy na pewno odpowiedź tu podana jest prawidłowa? Mi wyszedł przedział (-3;-1) suma {-3/4}.
Jeżeli to równanie kwadratowe miałoby dwa różne t z przedziału (-1;1>, to czy nie będą wtedy cztery różne cosinusy? A mają być dwa, żeby w sumie były trzy. Jak delta jest równa zero, to t spełnia warunek zadania,, czyli p= -3/4, a jak delta jest dodatnia, to jedno t musi być z przedziału (-1;1>, a drugie mniejsze równe -1 lub większe od 1. Nie jestem tak do końca pewna, czy dobrze myślę

beata1111 pisze: Mi wyszedł przedział (-3;-1) suma {-3/4}.

Tak, to jest prawidłowa odp.

Dziękuję !

kelly128 pisze:

beata1111 pisze: Mi wyszedł przedział (-3;-1) suma {-3/4}.

Tak, to jest prawidłowa odp.

Podstaw p=-2 i sprawdź,czy otrzymasz trzy pierwiastki z przedziału <-1;1>

Podstawiłam p = -2, wychodzą trzy różne t, t = -1, t = -0,61..., t = 1,6... (przybliżone wyniki, kalkulatorem rozwiązywałam), ten największy jest sprzeczny z założeniem, ale dla t = -0,61... (t = cosx) będą dwa różne rozwiązania x, dla t = -1 jest jedno, więc w sumie trzy różne w zakładanym przedziale

Przeanalizujcie sobie wykresy funkcji
\(f(t)=t^2-t +c\)
gdzie c=1+p

Wtedy widać, że potrzebne warunki (jedno m. z. należy do przedziału (-1,1>, a drugie nie) spełniają funkcje:
\(f(t)=(t- \frac{1}{2} )^2=t^2-t+ \frac{1}{4}\)
i tu mamy \(c= \frac{1}{4} \So p=- \frac{3}{4}\)

oraz te, których wykresy znajdują się pomiędzy
\(f(t)=(t+1)(t-2)=t^2-t-2, \ a \ f(t)=t^2-t\)
zatem -2<c<0 co daje -3<p<-1.

O takiej metodzie nie pomyślałam, czyli moje rozumowanie też chyba jest dobre, ten sam wynik wychodzi

Z tego co opisywałaś powyżej, wygląda, że dobrze myślisz .