Zadanie _zadania.info_

[pytajnik++]

Witam!

Mam pytanie do zadania z probnej matury zadania.info.

To tresc:
Udowodnij, że jeżeli punkt D jest środkiem ciężkości trójkąta, to \(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}\) .

Jest tez podane rozwiazanie, ale czy mozna to zadanie rozwiazac tak:

Rysyjemy trojkat ABC, oznaczamy srodek ciezkosci przez D, srodek boku AB przez \(S_1\), srodek boku BC przez \(S_2\) i srodek boku AC przez \(S_3\)
Teraz zapisujemy:
\(\vec{DA}\) = \(\vec{DS_1}\) + \(\vec{S_1A}\)
\(\vec{DA} = \vec{DS_3} + \vec{S_3A}\)

\(\vec{DB} = \vec{DS_1} + \vec{S_1B}\)
\(\vec{DB} = \vec{DS_2} + \vec{S_2B}\)

\(\vec{DC} = \vec{DS_2} + \vec{S_2C}\)
\(\vec{DC} = \vec{DS_3} + \vec{S_3C}\)

Teraz dodalibysmy te 6 rownan stronami, ale przedtem zauwazmy ze wektor \(\vec{S_1A}\) jest przeciwny do wektora \(\vec{S_1B}\), wektor \(\vec{S_2B}\) jest przeciwny do wektora \(\vec{S_2C}\) oraz wektor \(\vec{S_3A}\) jest przeciwny do \(\vec{S_3C}\), czyli po dodaniu stronami otrzymujemy:

\(2\vec{DA}\) + \(2\vec{DB}\) + \(2\vec{DC}\) = \(2\vec{DS_1}\) + \(2\vec{DS_2}\) + \(2\vec{DS_3}\) /:2
\(\vec{DA}\) + \(\vec{DB}\) + \(\vec{DC}\) = \(\vec{DS_1}\) + \(\vec{DS_2}\) + \(\vec{DS_3}\)

Wiadomo, ze srodkowe w trojkacie dziela sie w stosunku 2:1 liczac od srodka boku, zatem mamy:

\(\vec{DS_1} = \frac{1}{2} \vec{CD}\)
\(\vec{DS_2} = \frac{1}{2} \vec{AD}\)
\(\vec{DS_3} = \frac{1}{2} \vec{BD}\)

Zatem mamy teraz:

\(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{CD} + \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{BD}\)
\(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = -\frac{1}{2}\vec{DC} - \frac{1}{2}\vec{DA} - \frac{1}{2}\vec{DB}\)
\(\frac{3}{2} \vec{DA} + \frac{3}{2} \vec{DB} + \frac{3}{2} \vec{DC} = \vec{0}\) / ⋅\(\frac{2}{3}\)
\(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}\)

W ten sposob tez dochodzimy do tezy zadania.
Czy ten sposob rozwiazania jest poprawny?

[Galen]

Jest to poprawne rozwiązanie.
Trochę dużo pisaniny,ale jak to lubisz...Twoja wola