Czworościan
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Czworościan
Ile jest równa objętość wielościanu, którego wierzchołkami są środki krawędzi dowolnego czworościanu o objętości V?
Wydaje mi się, że otrzymany wielościan powstanie przez odcięcie czterech "naroży" danego czworościanu.
Ponieważ wierzchołki tego wielościanu to środki krawędzi, wszystkie odcięte "naroża" to czworościany podobne do wyjściowego, a skala tego podobieństwa jest równa \(\frac{1}{2}\)
Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali ich podobieństwa, więc każde takie naroże będzie miało objętość równą \(\frac{1}{8}V\).
Objętość wielościanu jest więc równa:
\(V-4\cdot\frac{1}{8}V=V-\frac{1}{2}V=\frac{1}{2}V\)
Ponieważ wierzchołki tego wielościanu to środki krawędzi, wszystkie odcięte "naroża" to czworościany podobne do wyjściowego, a skala tego podobieństwa jest równa \(\frac{1}{2}\)
Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali ich podobieństwa, więc każde takie naroże będzie miało objętość równą \(\frac{1}{8}V\).
Objętość wielościanu jest więc równa:
\(V-4\cdot\frac{1}{8}V=V-\frac{1}{2}V=\frac{1}{2}V\)
