Prostopadłościan
: 16 lut 2010, 19:56
podstawą prostopadłościanu ABCDA1B1C1D1 jest kwadrat ABCD,a odcinki AA1,BB1,CC1,DD1 są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka B1 od płaszczyzny ACD1, wiedząc, że Ab=a i AA1=b.
Oznaczyłam:
d- przekątna podstawy (kwadratu o boku a), \(d=a\sqrt{2}\)
p- przekątna ściany bocznej (prostokąta o bokach a i b), \(p=\sqrt{a^2+b^2}\).
Łącząc odcinkami punkty, o których mowa w zadaniu, otrzymujemy ostrosłup o podstawie \(ACD_1\) i wierzchołku \(B_1\).
W tym ostrosłupie:
\(|AD_1|=|CD_1|=|AB_1|=|CB_1|=p\\|AC|=|B_1D_1|=d\)
Wszystkie ściany tego ostrosłupa są przystającymi trójkątami równoramiennymi o ramionach równych p i podstawie równej d.
Szukana odległość to wysokość ostrosłupa. Oznaczyłam ją x.
Oznaczyłam E- środek krawędzi AC.
\(|B_1E|=|ED_1|\) to wysokości trójkątów równoramiennych opisanych powyżej, opuszczone na podstawę równą d. Oznaczyłam je h.
W trójkącie \(B_1D_1E\) jest: \(|B_1E|=|D_1E|=h,\ |B_1D_1|=d\).
Szukany odcinek x jest wysokością w trójkącie równoramiennym \(B_1D_1E\), opuszczoną na ramię tego trójkąta. wysokość trójkąta \(B_1D_1E\), opuszczoną na podstawę d oznaczyłam \(h_1\).
Obliczę najpierw \(h\ i\ h_1\), a później, wykorzystując wzór na pole trójkąta, obliczę x.
\((\frac{1}{2}d)^2+h^2=p^2\\h^2=p^2-\frac{1}{4}d^2\\h^2=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2\\h^2=\frac{1}{2}a^2+b^2\\h=\sqrt{\frac{1}{2}a^2+b^2}\)
\(h_1^2+(\frac{1}{2}d)^2=h^2\\h_1^2=h^2-\frac{1}{4}d^2\\h_1^2=\frac{1}{2}a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2\\h_1^2=b^2\\h_1=b\)
\(\frac{1}{2}dh_1=\frac{1}{2}hx\\a\sqrt{2}b=\sqrt{\frac{1}{2}a^2+b^2}\\ab\sqrt{2}=x\cdot\frac{\sqrt{a^2+2b^2}}{\sqrt{2}}\\x=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+2b^2}}\)