forum.zadania.info

W kulę o promieniu \(R\) wpisano stożek, którego tworząca jest widoczna ze środka kuli pod kątem \(\alpha\). Wyznacz objętość tego stożka.

Odpowiedź : \(V= \pi R^3sin^2 \alpha (1-cos \alpha )\)

Komentarz: nie za bardzo wiem jaki zrobić rysunek do tego zadania i co oznacza to, że tworząca jest widoczna ze środka kuli pod kątem \(\alpha\). Proszę więc o pomoc.

W koło promieniu R wpisany jest trójkąt równoramienny o podstawie 2r- średnica podstawy stożka i ramionach l- tworzących stożka. Poprowadź promienie koła do końców jednej z tworzących. Kąt między nimi to kąt \(\alpha\).

\(l^2=R^2+R^2-2r^2cos\alpha\\l^2=2r^2(1-cos\alpha)\)

H- wysokość stożka.
Skorzystam ze wzoru na pole trójkąta, gdzie R- promień okręgu opisanego na nim:
\(P=\frac{l^2\cdot2r}{4R}=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot\ H\\H=\frac{l^2}{2R^2}\\H=\frac{2R^2(1-cos\alpha)}{2R}\\H=R(1-cos\alpha)\\H^2+r^2=l^2\\R^2(1-cos\alpha)^2+r^2=2R^2(1-cos\alpha)\\r^2=R^2(2-2cos\alpha-1+2cos\alpha-cos^2\alpha)=R^2(1-cos^2\alpha)=R^2sin^2\alpha\\V=\frac{1}{3}\pi\cdot\ R^2sin^2\alpha\cdot\ R(1-cos\alpha)=\frac{1}{3}\pi\ R^3sin^2\alpha(1-cos\alpha)\)

Skoryguj to, bo nie jest zgodne z odpowiedzią. Ale myślę, że myśl jest dobra.

Albo się walnęli w odpowiedzi . W tej książce to niestety normalka. Zaraz zrobię i sprawdzę, wielkie dzięki za pomoc.

//EDIT

Ok zrobiłem i wyszło mi tak samo jak Tobie. Myślę, że po prostu zgubili tą \(\frac{1}{3}\) ze wzoru na objętość stożka, bo tylko tym różni się wynik otrzymany od tego który podany jest w odpowiedziach .