wielomian1

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

wielomian1

Post autor: mela1015 »

Dla jakich wartości parametru k równanie \((x-2)[kx^2+(k+1)x+1]=0\) ma dwa różne rozwiązania?
Awatar użytkownika
denatlu
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1107
Rejestracja: 10 mar 2012, 12:35
Lokalizacja: Lublin
Podziękowania: 145 razy
Otrzymane podziękowania: 344 razy
Płeć:

Post autor: denatlu »

Po pierwsze \(k\neq 0\) a po drugie \(\Delta=0 \iff k^2+2k+1-4k=(k-1)^2=0\) co ostatecznie daje odpowiedź
dla \(k=1\)
gg: 4987844
Spoiler
.\begin{cases} x \\ y \\ z \end{cases} - układ równań
\frac{}{} - ułamek
\sqrt{} - pierwiastek
tylkojedynka
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 462
Rejestracja: 31 sty 2011, 23:03
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 203 razy
Płeć:

Post autor: tylkojedynka »

to jednak jest bardziej rozbudowane zadanie.
1. Gdy\(\quad k=0\quad\) równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=2\quad \vee \quad x=-1\)

2. Gdy \(\quad k \neq 0\quad\) równanie jest równaniem stopnia trzeciego, którego jednym z rozwiązań jest liczba \(\quad x=2\quad\)
Ostatnio zmieniony 23 lut 2015, 20:20 przez tylkojedynka, łącznie zmieniany 1 raz.
tylkojedynka
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 462
Rejestracja: 31 sty 2011, 23:03
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 203 razy
Płeć:

Post autor: tylkojedynka »

\((x-2)[kx^2+(k+1)x+1]=0\)

\(x-2=0\quad \vee \quad kx^2+(k+1)x+1=0\)

wyznaczmy \(k\) , dla których liczba \(\quad 2\quad\)jest rozwiązaniem równania kwadratowego:\(4k+2k+2+1=0\quad \iff \quad k=- \frac{1}{2}\)

Dla \(\quad k=- \frac{1}{2} \quad\)otrzymujemy równanie: \(\quad -\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2} x+1=0\)

\(x^2-x-2=0\quad \iff\)\(\quad (x-2)(x+1)=0\quad \iff \quad x=-2\quad \vee \quad x=-1\)
tylkojedynka
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 462
Rejestracja: 31 sty 2011, 23:03
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 203 razy
Płeć:

Post autor: tylkojedynka »

Ostatecznie \(k \in \left\{- \frac{1}{2},0,1 \right\}\)
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re:

Post autor: mela1015 »

tylkojedynka pisze:Ostatecznie \(k \in \left\{- \frac{1}{2},0,1 \right\}\)
skąd właśnie te liczby?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10384 razy
Płeć:

Re: Re:

Post autor: eresh »

mela1015 pisze:
tylkojedynka pisze:Ostatecznie \(k \in \left\{- \frac{1}{2},0,1 \right\}\)
skąd właśnie te liczby?
denatlu pisze:Po pierwsze \(k\neq 0\) a po drugie \(\Delta=0 \iff k^2+2k+1-4k=(k-1)^2=0\) co ostatecznie daje odpowiedź
dla \(k=1\)
tylkojedynka pisze:to jednak jest bardziej rozbudowane zadanie.
1. Gdy\(\quad k=0\quad\) równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=2\quad \vee \quad x=-1\)
tylkojedynka pisze:\((x-2)[kx^2+(k+1)x+1]=0\)

\(x-2=0\quad \vee \quad kx^2+(k+1)x+1=0\)

wyznaczmy \(k\) , dla których liczba \(\quad 2\quad\)jest rozwiązaniem równania kwadratowego:\(4k+2k+2+1=0\quad \iff \quad k=- \frac{1}{2}\)

Dla \(\quad k=- \frac{1}{2} \quad\)otrzymujemy równanie: \(\quad -\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2} x+1=0\)

\(x^2-x-2=0\quad \iff\)\(\quad (x-2)(x+1)=0\quad \iff \quad x=-2\quad \vee \quad x=-1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Post autor: mela1015 »

skąd to 0 i 1 bo nie rozumiem
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9162 razy

Post autor: Galen »

Rozważasz dwa przypadki:
1)
\(x-2=0\;\;czyli\;\;x=2\;\;\;\;i\;równanie\;\;\;kx^2+(k+1)x+1=0\;\;ma\;jeden \;pierwiastek\;x\neq 2\)
\(\Delta=0\;\;\;\;lub\;\;\;w \;nawiasie\;jest\;równanie\;liniowe\;(k=0)\\(k+1)^2-4k=0\;\;\;lub\;\;0x^2+x+1=0\\k^2-2k+1=0\;\;\;lub\;\;k=0\\(k-1)^2=0\\k=1\;\;\;lub\;\;\;k=0\)
Oblicz x dla k=1 i pamiętaj,że może to być liczba różna od x=2 (bo mają być dwa pierwiastki równania).
\(x^2+2x+1=0\\(x+1)^2=0\\x=-1\)
Dla k=1 równanie ma dwa rozwiązania x=2 oraz x=-1.
Dla k=0 też ma dwa pierwiastki x=2 oraz x=-1
2)
Równanie ma dwa różne rozwiązania,ale jedno już jest x=2,to z czynnika kwadratowego mogą być dwa pierwiastki z tym,że jeden z nich musi być równy 2.
W tym przypadku wychodzi k=-1/2.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ODPOWIEDZ