Gęstość, dystrybuanta, prawdopodobieństwo, wnioskowanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 343
- Rejestracja: 05 wrz 2010, 13:47
- Podziękowania: 429 razy
Gęstość, dystrybuanta, prawdopodobieństwo, wnioskowanie
1. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:
F(x)= \(\begin{cases} 0&\text{dla}x<0\\ \frac{x^2}{25}&\text{dla} 0 \le X<5\\ 1&\text x \ge 5 \end{cases}\)
Dla zmiennej losowej X wyznacz:
a) funkcję gęstości
b) wartość oczekiwaną \(Q_1\)
c) P(X=3), P(X>2),\(P(0 \le X<4)\)
2. Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu N(-4,3), wyznacz P(X>-6), P(|X+1|\(\le 3)\), kwantyl \(q_{0,65}\)
3. W dużej partii wyrobów znajduje się 20% wyrobów I gatunku. Losujemy niezależnie 300 sztuk wyrobów. Obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej 50 sztuk I gatunku wśród wylosowanych.
4. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Na bardzo dokładnej wadze sprawdzono 9 losowo wybranych porcji otrzymując średnią wagę 5,09 z odchyleniem standardowym 0,09.
a) Zakłądając, że rozkład wag jest normalny wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego na poziomie ufności \(1- \alpha =0,99\)
b) jak duża powinna być próba, aby decyzja oszacowania była nie większa od 0,01
5. Dla danych z zad. 4 dokonaj weryfikacji hipotezy \(H_0: \mu=5\) przeciwko hipotezie \(H_1: \mu>5\)
F(x)= \(\begin{cases} 0&\text{dla}x<0\\ \frac{x^2}{25}&\text{dla} 0 \le X<5\\ 1&\text x \ge 5 \end{cases}\)
Dla zmiennej losowej X wyznacz:
a) funkcję gęstości
b) wartość oczekiwaną \(Q_1\)
c) P(X=3), P(X>2),\(P(0 \le X<4)\)
2. Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu N(-4,3), wyznacz P(X>-6), P(|X+1|\(\le 3)\), kwantyl \(q_{0,65}\)
3. W dużej partii wyrobów znajduje się 20% wyrobów I gatunku. Losujemy niezależnie 300 sztuk wyrobów. Obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej 50 sztuk I gatunku wśród wylosowanych.
4. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Na bardzo dokładnej wadze sprawdzono 9 losowo wybranych porcji otrzymując średnią wagę 5,09 z odchyleniem standardowym 0,09.
a) Zakłądając, że rozkład wag jest normalny wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego na poziomie ufności \(1- \alpha =0,99\)
b) jak duża powinna być próba, aby decyzja oszacowania była nie większa od 0,01
5. Dla danych z zad. 4 dokonaj weryfikacji hipotezy \(H_0: \mu=5\) przeciwko hipotezie \(H_1: \mu>5\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
2
\(X \sim N(-4,3)\)
\(Z = \frac{X+4}{3} \sim N(0,1)\)
\(P(X>-6) = P( \frac{X+4}{3} > \frac{-6+4}{3} ) = P(Z>- \frac{2}{3} ) = 1 - F(- \frac{2}{3} ) = 1 - 0.2525 = 0.7475\)
\(P(|X+1| \leq 3) = P(-3 \leq X+1 \leq 3) = P(0 \leq X+4 \leq 6) = P(0 < Z < 2) = F(2) - F(0) = .4772\)
\(P(X \leq a) = 0.65\)
\(P(Z \leq \frac{a+4}{3} ) = 0.65\)
\(\frac{a+4}{3} = q,\)
gdzie \(q = 0.3853\)
\(a = 3q - 4 = -2.8440\)
\(X \sim N(-4,3)\)
\(Z = \frac{X+4}{3} \sim N(0,1)\)
\(P(X>-6) = P( \frac{X+4}{3} > \frac{-6+4}{3} ) = P(Z>- \frac{2}{3} ) = 1 - F(- \frac{2}{3} ) = 1 - 0.2525 = 0.7475\)
\(P(|X+1| \leq 3) = P(-3 \leq X+1 \leq 3) = P(0 \leq X+4 \leq 6) = P(0 < Z < 2) = F(2) - F(0) = .4772\)
\(P(X \leq a) = 0.65\)
\(P(Z \leq \frac{a+4}{3} ) = 0.65\)
\(\frac{a+4}{3} = q,\)
gdzie \(q = 0.3853\)
\(a = 3q - 4 = -2.8440\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
n = 9
x = 5.09
s = 0.09
\(\alpha = 0.01\)
wzór na przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ):
\(P \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1}} \right)= 1 - \alpha\)
\(\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1},\; \chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1}\) to statystyki spełniające odpowiednio nierówności:
\(P \left( \chi^2 \ge \chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1} \right) = \frac{\alpha}{2}\)
\(P \left( \chi^2 \ge \chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1} \right) = 1 - \frac{\alpha}{2}\)
gdzie \(\chi^2\) ma rozkład chi-kwadrat z \(n - 1\) stopniami swobody
po podstawieniu i spierwiastkowaniu \(\sigma^2\) otrzymujemy przedział:
\((0.05432769; 0.21954378)\)
x = 5.09
s = 0.09
\(\alpha = 0.01\)
wzór na przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ):
\(P \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1}} \right)= 1 - \alpha\)
\(\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1},\; \chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1}\) to statystyki spełniające odpowiednio nierówności:
\(P \left( \chi^2 \ge \chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1} \right) = \frac{\alpha}{2}\)
\(P \left( \chi^2 \ge \chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1} \right) = 1 - \frac{\alpha}{2}\)
gdzie \(\chi^2\) ma rozkład chi-kwadrat z \(n - 1\) stopniami swobody
po podstawieniu i spierwiastkowaniu \(\sigma^2\) otrzymujemy przedział:
\((0.05432769; 0.21954378)\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 343
- Rejestracja: 05 wrz 2010, 13:47
- Podziękowania: 429 razy
-
- Stały bywalec
- Posty: 343
- Rejestracja: 05 wrz 2010, 13:47
- Podziękowania: 429 razy
Re: Gęstość, dystrybuanta, prawdopodobieństwo, wnioskowanie
Może ktoś rozpisać sposób obliczenie tej całki w rozkładzie ciągłym?
A odnośnie podpunktu b w zad. 4 pomoże ktoś?
4. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Na bardzo dokładnej wadze sprawdzono 9 losowo wybranych porcji otrzymując średnią wagę 5,09 z odchyleniem standardowym 0,09.
b) jak duża powinna być próba, aby precyzja oszacowania była nie większa od 0,01
A odnośnie podpunktu b w zad. 4 pomoże ktoś?
4. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Na bardzo dokładnej wadze sprawdzono 9 losowo wybranych porcji otrzymując średnią wagę 5,09 z odchyleniem standardowym 0,09.
b) jak duża powinna być próba, aby precyzja oszacowania była nie większa od 0,01