Witam,
Poszukuję pomocy w rozwiązaniu zadania z konkursu matematycznego (kuratorium oświaty Kraków), etap wojewódzki dla gimnazjum r.szk. 2012/13:
Wśród piętnastu kolejnych liczb naturalnych jest liczba 125, Iloczyn tych piętnastu liczb ma na końcu dokładnie
a. 2 zera
b. 3 zera
c. 4 zera
d. 5 zer
e. 6 zer
Podobno prawidłowa odpowiedź to d, czyli 5 zer ale mi wychodzi wynik którego w ogóle nie ma w tych odpowiedziach .
Będę wdzięczna za pomoc lub chociaż wskazówkę.
Rozkładamy iloczyn na czynniki pierwsze :
Dostajemy w tym rozkładzie też \(2^ \alpha \cdot 5^ \beta\).
Oczywiście \(\alpha > \beta\) ( dlaczego ?)
Liczba zer na końcu iloczynu jest równa min\(( \alpha , \beta )\) czyli \(\beta\) .
Weźmy maksymalny rozstęp w którym się mieszczą kolejne składniki iloczynu i wypiszmy te podzielne przez \(5\)\(\\): \(\left\{115,120,125,130,135 \right\}\). Każde pobranie kolejnych 15-nastu ( z liczbą \(125=5^3)\)pobiera jeszcze dokładnie dwie podzielne przez \(5^1\) .
Wniosek \(\beta =3+1+1=5\)
ODP :\(d\)
Dziękuję Panko że znalazłeś czas i tak szybko odpisałeś.
Nie do końca jednak rozumiem to rozwiązanie.
Rozkładamy iloczyn, czyli wynik mnożenia kolejnych 15 liczb naturalnych, to jest jasne.
Jakich liczb w rozkładzie dotyczy \(2^{ \alpha }\) ?
Maksymalny rozstęp i liczby podzielne przez 5 ogarniam ale nie wiem dlaczego rozwiązanie sprowadza się do sumy wykładników potęg liczby 5 ?
Na pierwszy rzut oka wydawało mi się, że iloczyn 15 liczb trzycyfrowych to b. duży wynik i tych zer musi być więcej niż 6.
.