forum.zadania.info

No i znowu mam problem z 2 zadankami z działu liczny rzeczywiste, tym razem z testu nr. III (książka "Testy Maturalne 2010 Matematyka poz. rozszerzony" wyd. Aksjomat Toruń).

Zadanie 1:

Wyznacz liczby całkowite a,b i c, tak aby była prawdziwa równość:

\((\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} -2)(a\sqrt[3]{4} + b\sqrt[3]{2} +c) = 10\)

Odpowiedź do zadania : a=3, b=4, c=2

Zadanie 2:

Uzasadnij, że suma \(\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} +...+ \frac{1}{2009*2010}\) jest mniejsza od 1.

Proszę o pomoc :p.

Zad. 2.
\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2008\cdot2009}+\frac{1}{2009\cdot2010}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}=1-\frac{1}{2010}<1\)

zad. 1.
\((\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2)(a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c)=\\a\sqrt[3]{16}+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}+a\sqrt[3]{8}=b\sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{2}-2a\sqrt[3]{4}-2b\sqrt[3]{2}-2c=\\=2a\sqrt[3]{2}+2b+c\sqrt[3]{4}+2a+b\sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{2}-2a\sqrt[3]{4}-2b\sqrt[3]{2}-2c=\\=2a+2b-2c+(2a-2b+c)\sqrt[3]{2}+(-2a+b+c)\sqrt[3]{4}=10 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{cases}2a+2b-2c=10\\2a-2b+c=0\\-2a+b+c=0 \end{cases} \\2a-b=-2a+2b\\4a=3b\\-b+2c=0\\b=2c\\4a=6c\\a=\frac{3}{2}c\\3c+4c-2c=10\\5c=10\\c=2\\ \begin{cases}a=3\\b=4\\c=2 \end{cases}\)

wielkie dzięki

edit /

Chwila, a skąd się wzięło " -b + 2c = 0" ??

edit 2/

ok, już wiem, dodałaś równania stronami :p

Może mi ktoś wytłumaczyć to zadanie pierwsze? Czy te dwa nawiasy trzeba wymnożyć? Wymnożyłem je i wychodzi mi coś innego.

Wyznacz liczby całkowite a,b i c, tak aby była prawdziwa równość:

\(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} -2)(a\sqrt[3]{4} + b\sqrt[3]{2} +c) = 10\)

, Czy te zadanie trzeba tak robić jak jest na górze, czy można w taki sposób, że
wyciągam potęgi, czyli jak jest \(\sqrt[3]{4}\) to będzie 2 do potęgi \(\frac{2}{3}\)
i tak dalej, i zostanie nam 2a+2b+c=10
hmm, tylko tutaj jest problem z znalezieniem tych liczb

Są 3 niewiadome, zatem potrzebujemy 3 warunków

A czy można rozwiązać to zadanie usuwając niewymierność z mianownika i potem dopasować odpowiednie liczby ?
\((a\sqrt[3]{4} + b\sqrt[3]{2} +c) = \frac{10}{(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} -2)}\)

Łatwiej jest wymnożyć, bo pozbycie się niewymierności z tego mianownika też nie jest proste.

Po wymnożeniu nawiasów po lewej stronie będzie:
\(\sqrt[3]{2}(2a-2b+c)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+2a+2b-2c=10\)

I stąd układ równań:
\(\begin{cases}2a-2b+c=0\\-2a+b+c=0\\2a+2b-2c=10\end{cases}\)

I w efekcie:
\(\begin{cases}a=3\\b=4\\c=2\end{cases}\)

Skąd wiemy, że to właśnie 2a+2b-2c musi się równać 10, a nie nawiasy przy pierwiastkach?

Ponieważ \(10\) jest liczbą wymierną, to niewymierne składniki sumy lewej strony równania muszą zniknąć - wystarczy je pomnożyć przez \(0\). Aby równość zaszła - wymierny składnik sumy musi być równy \(10\).

Pozdrawiam