Witam we wtorek mam kolokwium z matematyki i mam wielki problem z rozwiązaniem tego typu zadań:
zadanie 1.
Zbadaj wzajemne położenie prostych: pierwsza prosta: L1: \(\begin{cases} x-y+z-1=0\\ 2x-y+2z-3=0 \end{cases}\)
L2: \(\frac{x-1}{1} = \frac{x+2}{-2} = \frac{x+1}{1}\)
Zbadaj wzajemne położenie prostych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
rozaldinho
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 sty 2010, 23:39
-
rozaldinho
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 sty 2010, 23:39
tak tak 
proszę o pomoc!!!!!!!!! mam jeszcze kilka zdań na jutrzejsze kolokwium ,wiem , że dla niektórych to nie problem to rozwiązać, ale bardzo proszę!!!
zad. 2
oblicz pole trójkąta ABC o wierzchołkach A(1,1,1) B(2,3,-1) C(-2,0,2). Napisz równanie płaszczyzny na której leży trójkąt ABC. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzch. C oraz miarę kątów wewnętrznych.
i pozostałe:
przepraszam z góry za to , że nie jest to w formacie LaTeX'a !!!
proszę o pomoc!!!!!!!!! mam jeszcze kilka zdań na jutrzejsze kolokwium ,wiem , że dla niektórych to nie problem to rozwiązać, ale bardzo proszę!!!zad. 2
oblicz pole trójkąta ABC o wierzchołkach A(1,1,1) B(2,3,-1) C(-2,0,2). Napisz równanie płaszczyzny na której leży trójkąt ABC. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzch. C oraz miarę kątów wewnętrznych.
i pozostałe:
przepraszam z góry za to , że nie jest to w formacie LaTeX'a !!!
1.
Najlepiej zapisać równanie pierwszej prostej w postaci kierunkowej:
\(\begin{cases}x-y+z-1=0\ \Rightarrow z=-x+y+1\\2x-y+2z-3=0 \end{cases} \\2x-y+2(-x+y+1)-3=0\\y=1\\z=-x-2\)
znajdziemy dwa różne punkty spełniające te równości:
\(\begin{cases}x_1=0\\y_1=1\\z_1=-2 \end{cases} \\ \begin{cases}x_2=1\\y_2=1\\z_1=-3 \end{cases}\)
Wektor kierunkowy tej prostej: \([0-1;1-1;-2-(-3)]=[-1;0;1]\)
Równanie tej prostej:
\(l_1: \frac{x}{-1}=\frac{z+2}{1},\ y=1\),
a w postaci parametrycznej:
\(l_1: \begin{cases}x=0-t_1\\y=1\\z=-2+t_1 \end{cases}\)
\(l_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z+1}{1}\)
w postaci parametrycznej:
\(l_2: \begin{cases}x=1+t_2\\y=-2-2t_2\\z=-1+t_2 \end{cases}\)
Dwie proste:
\(l_1: \begin{cases}x=x_1+a_1t_1\\y=y_1+b_1t_1\\z=z_1+c_1t_1 \end{cases} \ i\ l_2:\ \begin{cases}x=x_2+a_2t_2\\y=y_2+b_2t_2\\z=z_2+c_2t_2 \end{cases}\)
leżą w jednej płaszczyźnie \(\Leftrightarrow\):
\(\begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2 \end{vmatrix} =0\)
W tym wypadku:
\(\begin{vmatrix}1&-3&1\\-1&0&1\\1&-2&1 \end{vmatrix} =0-3+2-0+2-3=-2 \neq 0\)
Proste nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Obliczam iloczyn skalarny kierunkowych wektorów prostych:
\(-1\cdot1+0\cdot(-2)+1\cdot1=0\).
Proste są prostopadłe.
Najlepiej zapisać równanie pierwszej prostej w postaci kierunkowej:
\(\begin{cases}x-y+z-1=0\ \Rightarrow z=-x+y+1\\2x-y+2z-3=0 \end{cases} \\2x-y+2(-x+y+1)-3=0\\y=1\\z=-x-2\)
znajdziemy dwa różne punkty spełniające te równości:
\(\begin{cases}x_1=0\\y_1=1\\z_1=-2 \end{cases} \\ \begin{cases}x_2=1\\y_2=1\\z_1=-3 \end{cases}\)
Wektor kierunkowy tej prostej: \([0-1;1-1;-2-(-3)]=[-1;0;1]\)
Równanie tej prostej:
\(l_1: \frac{x}{-1}=\frac{z+2}{1},\ y=1\),
a w postaci parametrycznej:
\(l_1: \begin{cases}x=0-t_1\\y=1\\z=-2+t_1 \end{cases}\)
\(l_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z+1}{1}\)
w postaci parametrycznej:
\(l_2: \begin{cases}x=1+t_2\\y=-2-2t_2\\z=-1+t_2 \end{cases}\)
Dwie proste:
\(l_1: \begin{cases}x=x_1+a_1t_1\\y=y_1+b_1t_1\\z=z_1+c_1t_1 \end{cases} \ i\ l_2:\ \begin{cases}x=x_2+a_2t_2\\y=y_2+b_2t_2\\z=z_2+c_2t_2 \end{cases}\)
leżą w jednej płaszczyźnie \(\Leftrightarrow\):
\(\begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2 \end{vmatrix} =0\)
W tym wypadku:
\(\begin{vmatrix}1&-3&1\\-1&0&1\\1&-2&1 \end{vmatrix} =0-3+2-0+2-3=-2 \neq 0\)
Proste nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Obliczam iloczyn skalarny kierunkowych wektorów prostych:
\(-1\cdot1+0\cdot(-2)+1\cdot1=0\).
Proste są prostopadłe.
2.
Pole trójkąta o wierzchołkach \(A(x_1,y_1,z_1),\ B(x_2,y_2,z_2),\ C(x_3,y_3,z_3)\):
\(P=\frac{1}{2}\sqrt{ \begin{vmatrix}x_1-x_3&y_1-y_3\\x_2-x_3&y_2-y_3 \end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix}x_1-x_3&z_1-z_3\\x_2-x_3&z_2-z_3 \end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix}y_1-y_3&z_1-z_3\\y_2-y_3&z_2-z_3 \end{vmatrix} ^2}\)
\(P=\frac{1}{2}\sqrt{ \begin{vmatrix}3&1\\4&3 \end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix}1&-1\\3&-3 \end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix}3&-1\\4&-3 \end{vmatrix} ^2}=\\=\frac{1}{2}\sqrt{(9-4)^2+(-3+3)^2+(-9+4)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{50}=\frac{5\sqrt{5}}{2}\)
Równanie płaszczyzny zawierającej 3 niewspółliniowe punkty \(A(x_1,y_1,z_1),\ B(x_2,y_2,z_2),\ C(x_3,y_3,z_3)\):
\(\begin{vmatrix}x-x_3&y-y_3&z-z_3\\x_1-x_3&y_1-y_3&z_1-z_3\\x_2-x_3&y_2-y_3&z_2-z_3 \end{vmatrix} =0\)
\(\begin{vmatrix}x+2&y&z-2\\3&1&-1\\4&3&0 \end{vmatrix} =0\\3x-4y+5z-4=0\)
Długość odcinka AB:
\(|AB|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3\)
h- szukana wysokość:
\(P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\ h\\\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\ h\\h=\frac{5\sqrt{2}}{3}\)
Przepraszam, ale już jestem zmęczona.
Pole trójkąta o wierzchołkach \(A(x_1,y_1,z_1),\ B(x_2,y_2,z_2),\ C(x_3,y_3,z_3)\):
\(P=\frac{1}{2}\sqrt{ \begin{vmatrix}x_1-x_3&y_1-y_3\\x_2-x_3&y_2-y_3 \end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix}x_1-x_3&z_1-z_3\\x_2-x_3&z_2-z_3 \end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix}y_1-y_3&z_1-z_3\\y_2-y_3&z_2-z_3 \end{vmatrix} ^2}\)
\(P=\frac{1}{2}\sqrt{ \begin{vmatrix}3&1\\4&3 \end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix}1&-1\\3&-3 \end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix}3&-1\\4&-3 \end{vmatrix} ^2}=\\=\frac{1}{2}\sqrt{(9-4)^2+(-3+3)^2+(-9+4)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{50}=\frac{5\sqrt{5}}{2}\)
Równanie płaszczyzny zawierającej 3 niewspółliniowe punkty \(A(x_1,y_1,z_1),\ B(x_2,y_2,z_2),\ C(x_3,y_3,z_3)\):
\(\begin{vmatrix}x-x_3&y-y_3&z-z_3\\x_1-x_3&y_1-y_3&z_1-z_3\\x_2-x_3&y_2-y_3&z_2-z_3 \end{vmatrix} =0\)
\(\begin{vmatrix}x+2&y&z-2\\3&1&-1\\4&3&0 \end{vmatrix} =0\\3x-4y+5z-4=0\)
Długość odcinka AB:
\(|AB|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3\)
h- szukana wysokość:
\(P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\ h\\\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\ h\\h=\frac{5\sqrt{2}}{3}\)
Przepraszam, ale już jestem zmęczona.