wyznaczyc ekstrema lokalne funkcji

[kejkun]

3. Wyznaczyc ekstrema lokalne funkcji
\(a) f(x,y)=y\sqrt{x}-y^{2}-x+6y\); \(\mathrm{b}) z=x^{3}+8y^{3}-6xy+1\);

\(\mathrm{c}) f(x,y)=e^{x^{2}-y}(5-2x+y)\) , d) \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}+xy -4\ln x -10\ln y\),

\(\mathrm{e}) f(x,y,z)=y^{3}+2x^{2}+z^{2}-2xy+yz+3z-1\), f\() f(x,\ y,z)=x +\displaystyle \frac{y^{2}}{4x}+\frac{z^{2}}{y}+\frac{2}{z}\)
\(\mathrm{g}) f(x,y,z) =2 \frac{ X^2} {Z} + \frac{ y^2} {Z}+8z^{2}-8x\).

czyli co licze pochodne wstawiam pochodne 1 rzędu do gradientu przyrównując do zera, otrzymuje punkty stacjonarne.
A potem licze kolejne pochodne mieszane wyzszych rzedow, i wstawiam do hesjanu je, a potem wstawiam tam punkty stacjonarne, tak?

[RozbrajaczZadaniowy]

Zgadza się. Przeliczę pierwszy przykład:

\(\ a)f(x,y)=y \sqrt{x}-y^2-x+6y=0
\\ \frac{ \partial f}{ \partial x}= \frac{y}{2 \sqrt{x} } -1
\\ \frac{ \partial f}{ \partial y}= \sqrt{x} -2y+6
\\ \begin{cases} \frac{ \partial f}{ \partial x}=0
\\ \frac{ \partial f}{ \partial y}=0 \end{cases}
\\
\begin{cases} \frac{y}{2 \sqrt{x} } -1=0
\\ \sqrt{x} -2y+6=0 \end{cases}
\\
\begin{cases} \frac{y}{2} = \sqrt{x}
\\ \sqrt{x} -2y+6=0 \end{cases}
\\ \frac{y}{2}-2y=-6
\\ \frac{3}{2}y=6
\\y=4 \ \wedge \ x= 4 \ \So \ P= ( 4 ,4)\)

Drugie pochodne:
\(\frac{ \partial ^2 f}{ \partial x \partial x}= -\frac{y}{4 \sqrt{x^3} }
\\\frac{ \partial ^2 f}{ \partial x \partial y}= \frac{1}{2 \sqrt{x} }
\\\frac{ \partial ^2 f}{ \partial y \partial x}= \frac{1}{2 \sqrt{x} }
\\\frac{ \partial ^2 f}{ \partial y \partial y}=-2\)

\(W_P = \begin{vmatrix} \frac{ \partial ^2 f}{ \partial x \partial x} & \frac{ \partial ^2 f}{ \partial x \partial y} \\ \frac{ \partial ^2 f}{ \partial y \partial x} & \frac{ \partial ^2 f}{ \partial y \partial y} \end{vmatrix} \ \to \ W_P = \begin{vmatrix} -\frac{y}{4 \sqrt{x^3} } & \frac{1}{2 \sqrt{x} } \\ \frac{1}{2 \sqrt{x} } & -2\end{vmatrix} \ \to \ W_P= \begin{vmatrix} - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -2 \end{vmatrix}= \frac{3}{16}>0\)

Ponieważ wyznacznik jest większy od \(0\) to istnieje ekstremum w punkcie \(P=(4,4)\) i jest to maksimum bo \(\frac{ \partial ^2 f}{ \partial x \partial x}<0\)

To maksimum wynosi \(f(4,4)\), a więc \(12\).

Pozostałe tak samo tylko trzeba uważać na rozwiązywanie układów równań, bo łatwo pominąć jakieś rozwiązanie.