proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania
podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym alfa. krótsza przekątnagraniastosłupa ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt beta. oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź: \(\frac{d^3sin^2 \beta }{sin^2 \alpha } * \sqrt{2(sin^2 \alpha -sin^2 \beta )(1-cos \alpha) }\)
Narysuj ten graniastosłup.
Dolna podstawa to romb ABCD o kącie ostrym w wierzchołku A.
Górna podstawa to romb A'B'C'D'.
Krótsza przekątna graniastosłupa to przekątna BD'.
Poprowadź wysokości obu rombów:
- DE na bok AB
- D'E' na bok A'B'.
Poprowadź odcinek BE'.
Trójkąt BD'E' to trójkąt prostokątny o kącie prostym w wierzchołku E' i kącie \(|\angle E'BD'|=\beta\).
|BD'|=d
|D'E'|=|DE|=h
W trójkącie BD'E' \(\frac{h}{d}=sin\beta\\h=d sin\beta\)
W trójkącie ADE kąt AED jest prosty, \(|\angle DAE|=\alpha\)
|DE|=h
oznacz |AD|=a - bok rombu podstawy \(\frac{h}{a}=sin\alpha\\a=\frac{h}{sin\alpha}=\frac{d sin\beta}{sin\alpha}\)
Pole rombu; \(P_p=ah=\frac{d sin\beta}{sin\alpha}\cdot d sin\beta=\frac{d^2sin^2\beta}{sin\alpha}\)
Poprowadź krótszą przekątną rombu BD.
|BD|=p
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD: \(p^2=a^2+a^2-2a^2cos\alpha=2a^2(1-cos\alpha)=\frac{2d^2sin^2\beta(1-cos\alpha)}{sin^2\alpha}\)
DD'- wysokość graniastosłupa
|DD'|=H
W trójkącie prostokątnym BDD': \(|BD|=p\\|DD'|=H\\|BD'|=d\\H^2+p^2=d^2\\H^2=d^2-\frac{2d^2sin^2\beta(1-cos\alpha)}{sin^2\alpha}=\frac{d^2sin^2\alpha-2d^2sin^2\beta(1-cos\alpha)}{sin^2\alpha}=\\=\frac{d^2}{sin^2\alpha}\cdot(sin^2\alpha-2sin^2\beta(1-cos\alpha))\\H=\frac{d}{sin\alpha}\sqrt{sin^2\alpha-2sin^2\beta(1-cos\alpha)}\)
