forum.zadania.info

jak zbadac asymptoty funkcji?

wytłumaczcie krok po kroku

Asymptoty pionowe:
Patrzymy na dziedzinę funkcji, jeśli wypada nam jakiś punkt z dziedziny to może tam występować asymptota pionowa. Przyjmijmy, że nasz punkt nie należący do dziedziny oznaczymy \(x_0\). Liczymy wtedy \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)\) oraz \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)\). Mówiąc po polsku liczymy granicę lewostronną w tym punkcie oraz prawostronną. Jeśli przykładowo wyjdzie nam przy \(\lim_{x\to x_0^-} = +\infty\), znaczyć to będzie, że gdy zbliżamy się do naszego \(x_0\) z lewej strony to wykres ucieka nam do góry. Podobnie gdy rozpatrujemy przypadek, odwrotny \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)\) (gdy idziemy do \(x_0\) z prawej strony) wykres może nam uciekać do \(\pm \infty\).
Jeśli przy x dążącym do \(x_0\) wychodzi nam \(\pm \infty\), to jest to granica niewłaściwa. Oczywiście może nam wyjść jakaś konkretna liczba, wtedy znaczyć to będzie, że jest to granica właściwa.

Asymptoty poziome:
Bardzo podobny tok rozumowania do tego powyższego. Wyobraźmy sobie taką asymptotę (poziomą). Z taką możemy się spotkać jeśli będziemy uciekać na \(x\)-ach do \(+\infty\) albo \(-\infty\).
Liczymy ją podobnie jak wyżej, z różnicą, że tam wstawiamy określony punkt a tutaj nieskończoność.
\(\lim_{x\to +\infty} f(x)\) i oczywiście \(\lim_{x\to -\infty} f(x)\). W granicy powinna wyjść nam liczba. Jeśli wyjdzie nam konkretna liczba to znaczy, że nie ma asymptot ukośnych. Jeśli natomiast w granicy wychodzi nam \(\infty\) to wtedy powinniśmy sprawdzić czy aby przypadkiem nie mamy do czynienia z asymptotami ukośnymi.

Asymptoty ukośne:
Warunkiem istnienia tego rodzaju asymptot jest oczywiście brak istnienia asymptot poziomych. Licząc asymptoty ukośne chcemy otrzymać jakąś prostą \(y=ax+b\). Aby wyliczyć współczynnik kierunkowy naszej prostej (a) liczymy taką granicę:
\(\lim_{x\to \pm \infty} \frac {f_{(x)}}{x}=a\). Teraz przechodzimy do niewiadomej \(b\), liczymy ją w następujący sposób: \(\lim_{x\to \pm \infty} [f(x)-ax]=b\). Aby ta granica istniała to musimy uzyskać wyniki w postaci liczb (w przypadku nieskończoności nie ma granicy ukośnej). Oczywiście nikt nie powiedział, że w + nieskończoności i w - nieskończoności muszą wyjść te same proste/granice. Musimy sprawdzić oba przypadki.

Pozdrawiam
Szymon.