1) Dla jakich wartości parametru \(p\) równanie \(x^2 + 5px + 20p - 8 = 0\) ma różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) takie, że \(x_1^2 + x_2^2 = 400\)?
2) Dla jakich wartości parametru \(p\) równanie \(x^2 + 2(p - 1)x + p^2 - 4 = 0\) ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest mniejsza od 12?
3) Dla jakich wartości parametru \(m\) suma różnych rozwiązań równania \(x^2 - 2m(x - 1) - 1 = 0\) jest równa sumie kwadratów tych rozwiązań?
4) Dla jakich wartości parametru \(m\) odwrotność sumy różnych rozwiązań równania \(2x + m(1 - x^2) = 2 + 2x^2\) jest dodatnia?
5) Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) równania \(x^2 + (k + 2)x + 4 = 0\) spełniają warunek \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = k\).
Równania kwadratowe z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 71
- Rejestracja: 28 kwie 2013, 13:34
- Podziękowania: 215 razy
- Płeć:
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
1) \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}\)
\(\Delta=25p^2-80p+32>0\)
\(\Delta_p=6400-3200=3200\)
\(\sqrt{\Delta_p}=40\sqrt{2}\)
\(p_1=\frac{80-40\sqrt{2}}{50}=\frac{8}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{2} \;\;\;\ p_2=\frac{8}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{2}\)
stąd \(p \in (-\infty,\frac{8}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{2}) \cup (\frac{8}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{2},+\infty) \;\;\ (*)\)
drugi warunek
\(25p^2-40p+16=400\)
\(25p^2-40p-384=0\)
\(\Delta'_p=1600+38400=40000\)
\(\sqrt{\Delta'}=200\)
\(p_1=-\frac{16}{5} \;\;\ p_2=\frac{24}{5}\)
zarówno \(p_1\) jak i \(p_2\) mieszcza się w \((*)\)
\(\Delta=25p^2-80p+32>0\)
\(\Delta_p=6400-3200=3200\)
\(\sqrt{\Delta_p}=40\sqrt{2}\)
\(p_1=\frac{80-40\sqrt{2}}{50}=\frac{8}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{2} \;\;\;\ p_2=\frac{8}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{2}\)
stąd \(p \in (-\infty,\frac{8}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{2}) \cup (\frac{8}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{2},+\infty) \;\;\ (*)\)
drugi warunek
\(25p^2-40p+16=400\)
\(25p^2-40p-384=0\)
\(\Delta'_p=1600+38400=40000\)
\(\sqrt{\Delta'}=200\)
\(p_1=-\frac{16}{5} \;\;\ p_2=\frac{24}{5}\)
zarówno \(p_1\) jak i \(p_2\) mieszcza się w \((*)\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
2) \(\Delta=4(p-1)^2-4p^2+16=4p^2-8p+4-4p^2+16=20-8p>0\)
\(p<\frac{5}{2}\)
\(x_1^2+x_2^2=4p^2-8p+4-2p^2+8=2p^2-8p+12<12\)
\(2p(p-4)<0\)
\(p \in (0,4)\)
ale biąrąc pod uwagę warunek z delty mamy \(p \in (0,\frac{5}{2})\)
\(p<\frac{5}{2}\)
\(x_1^2+x_2^2=4p^2-8p+4-2p^2+8=2p^2-8p+12<12\)
\(2p(p-4)<0\)
\(p \in (0,4)\)
ale biąrąc pod uwagę warunek z delty mamy \(p \in (0,\frac{5}{2})\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Równania kwadratowe z parametrem
3) \(x^2+2mx+2m-1=0\)
\(\Delta=4m^2+4-8m=4m^2-8m+4=(2m+2)^2>0\)
\(m \in \rr \bez \left\{-1 \right\}\)
\(x_1+x_2=x_1^2+x_2^2\)
\(-\frac{b}{a}=\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}\)
\(-2m=4m^2-4m+2\)
\(4m^2-2m+2=0\)
\(\Delta_m<0\) stąd nie ma takiego \(m\)
\(\Delta=4m^2+4-8m=4m^2-8m+4=(2m+2)^2>0\)
\(m \in \rr \bez \left\{-1 \right\}\)
\(x_1+x_2=x_1^2+x_2^2\)
\(-\frac{b}{a}=\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}\)
\(-2m=4m^2-4m+2\)
\(4m^2-2m+2=0\)
\(\Delta_m<0\) stąd nie ma takiego \(m\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć: