Obwód trójkąta, długość promieni okręgu

[emka_dk]

1.Dany jest punkt M=(2;8). Wyznacz równanie takiej prostej k, do której należy punkt M, że na ujemnej półosi OX i dodatniej półosi OY układu BOY prosta ta wyznacza odcinki OA i OB., których suma długości jest równa 6. Oblicz obwód trójkąta AOB.

2.Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 4 cm. W trójkąt ten wpisano trzy okręgi o równych promieniach tak, że każdy z tych okręgów jest styczny do dwóch pozostałych okręgów i do dwóch boków trójkąta. Oblicz długości promieni tych okręgów.

[marcin77]

Zadanie 2
Okręgi będą wpisane w deltoidy o bokach równych \(\frac{a}{2}\) i \(\frac{h}{3}\); \(h=\frac{a sqrt3}{2}\)
Pole czworokąta opisanego na okręgu jest równe połowie iloczynu promienia okręgu i sumy długości boków.
Pole deltoidu jest znane ponieważ stanowi \(\frac{1}{3}\) powierzchni trójkąta równobocznego.
\(\frac{1}{3}\frac{a^2 sqrt3}{4}=\frac{1}{2} r (\frac{h}{3}+\frac{a}{2}+\frac{h}{3}+\frac{a}{2})
\frac{a^2 sqrt3}{12}=\frac{r}{2}(\frac{2h}{3}+a)
\frac{a^2 sqrt3}{12}=\frac{r}{2}(\frac{a sqrt3}{3}+a)
\frac{a^ sqrt3}{12}=\frac{r(3+\sqrt3)}{6}
r=\frac{a sqrt3}{2(3+\sqrt3)}
r=\frac{2 sqrt3}{3+\sqrt3}\)

[Szimi10]

Zadanie 1.
Kożystać będziemy z tzw. równania odcinkowego prostej. A mianowicie: prostą przechodzącą przez punkty \(A=(a,0)\) i \(B=(0,b)\) (chodzi o punkty przecięcia z osiami, nie mylić punktu \(a\) z współczynnikiem kierunkowym prostej!) można zapisać w postaci \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\). Mamy juz grunt, to działamy.
Na początek ułożymy układ równań łączący warunki zadania, bo prosta ma przechodzić przez punkt \(M=(2;8)\) oraz suma długości odcinków \(OA\) i \(OB\) ma być równa \(6\). Wiemy też, że punkt \(A\) leży na ujemnej części osi \(OX\), natomiast punkt \(B\) na dodatniej części osi \(OY\).
Zaczynamy:
\(\{-a+b=6\\\frac{x}{a}+{y}{b}=1\).
Przypominam, mamy postac \(-a+b=6\) bo punkt \(A\) leży po lewej stronie układu i współrzędna \(a\) będzie przyjmować wartości ujemne, a długość odcinka ujemna być nie może.
Podstawiając punkt \(M=(2;8)\) do równania prostej otrzymujemy:
\(\{-a+b=6\\\frac{2}{a}+\frac{8}{b}=1\)

Liczymy \(b\) z drugiego równania
\(\frac{2-a}{a}+\frac{8}{b}=0\\\frac{a-2}{8a}=\frac{1}{b}\\b=\frac{8a}{a-2}\)
i podstawiamy do pierwszego
\(-a+\frac{8a}{a-2}=6\\-a^2+4a+12=0\\\sqrt \Delta=8\\a_1=6 \ \ \ a_2=-2\).
Oczywiście nas interesuje tylko \(a_2=-2\) ponieważ jak juz wiemy, punkt \(A\) ma leżeć "na ujemnych \(x\)-ach"
Podstawiamy nasze \(a=-2\) i liczymy \(b\)
\(b=\frac{8a}{a-2}=\frac{-16}{-4}=4\).
Możemy już napisać rownanie naszej prostej:
\(\frac{x}{-2}=\frac{y}{4}=1\\y=2x+4\)

Mamy pierwszą część zadania za sobą, teraz policzymy obwód trójkąta jaki tworzy podana prosta z osiami \(OX\) i \(OY\). Mamy współrzędne przecięcia prostej z osiami \(A=(-2,0)\) i \(B=(4,0)\)
Odcinek \(AO\) ma długość \(2\), a odcinek \(BO\) ma długość \(4\), chyba nie trzeba tego liczyc, dość oczywiste .
Z Twierzenia Pitagorasa policzymy odcinek \(AB=c\):
\(2^2+4^2=c^2\\4+16=c^2\\c=2\sqrt 5\).
Obwód trójkąta wynosi więc \(6+2 \sqrt 5\)

Odp. Prosta ma równanie \(y=2x+4\), a \(O_{AOB}=6+2\sqrt 5\)

Pozdrawiam
Szymon.

[SA32]

Do zadania 1
Skąd wiadomo, że drugi bok deltoidu będzie miał długość a/2?

[marcin77]

Do zadania 1
Skąd wiadomo, że drugi bok deltoidu będzie miał długość a/2?

W trójkącie równobocznym wysokość pokrywa się z dwusieczną kąta i symetralną boku stąd bok deltoidu \(=\frac{a}{2}\)