Mam takie rownanie
\(z(\sqrt{(-1+i)^{40}})=z^3(-1-\sqrt{3}i)^9\)
i podobno z tego ma byc 5 pierwiastkow.
Poki co ja sie doszukalem trzech, wiec cos musze zle robic, wiec prosze o pomoc.
Jeden jest odrazu widoczny ze to jest po prostu zero. Potem gdy zaloze ze to jest rozne od zera to dochodze do takiej postaci \(2 = z^2\) z czego mam 2 pierwiastki
Wyznaczyc pierwiastki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(z'=(-1+i)^{40}=2^{20}=2^{20}(cos0+i sin0)\)
\(z'_1=2^{10}(cos0+i sin0)=2^{10}\ \vee\ z'_2=2^{10}(cos\pi+i sin\pi)=2^{10}\cdot(-1)=-2^{10}\)
I masz dwa równania:
\(2^{10}z=2^9z^3\ \ \vee\ \ -2^{10}z=2^9z^3\\z^3-2z=0\ \ \vee\ \ z^3+2z=0\\z(z^2-2)=0\ \ \vee\ \ z(z^2+2)=0\\z_1=0\ \vee\ z^2=2\ \vee\ z^2=-2\\z_1=0\ \vee\ z_2=\sqrt{2}\ \vee\ z_3=-\sqrt{2}\ \vee\ z_4=\sqrt{2}i\ \vee\ z_5=-\sqrt{2}i\)
\(z'_1=2^{10}(cos0+i sin0)=2^{10}\ \vee\ z'_2=2^{10}(cos\pi+i sin\pi)=2^{10}\cdot(-1)=-2^{10}\)
I masz dwa równania:
\(2^{10}z=2^9z^3\ \ \vee\ \ -2^{10}z=2^9z^3\\z^3-2z=0\ \ \vee\ \ z^3+2z=0\\z(z^2-2)=0\ \ \vee\ \ z(z^2+2)=0\\z_1=0\ \vee\ z^2=2\ \vee\ z^2=-2\\z_1=0\ \vee\ z_2=\sqrt{2}\ \vee\ z_3=-\sqrt{2}\ \vee\ z_4=\sqrt{2}i\ \vee\ z_5=-\sqrt{2}i\)