Proszę o pomoc! Geometria analityczna

[licealista95]

Prosta x-y=1 przecina okrąg \(x^{2}\)+6x+\(y^{2}\)-4y-13=0 w punktach A i B. Oblicz pole trójkąta ABC oraz współrzędne punktu C jeżeli AC jest średnicą tego okręgu.

[patryk00714]

Wyznaczmy środek okręgu: \(S=(-3,2)\)

obliczmy współrzedne punktów A i B mamy: \(\begin{cases}x-y=1\\x^2+6x+y^2-4y-13=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}A(x,y)=(-2,-3)\\B(x,y)=(2,1) \end{cases}\)

Przeprowadźmy prostą |AS|. Mamy \(y=-5x-13\)

obliczmy współrzędne punktu C. Jest to punkt wspólny prostej \(y=-5x-13\) z okregiem. Mamy \(C=(-4,7)\)

teraz wnioskujemy, że poszukiwany trójkąt jest prostokątny (bo oparty jest na średnicy) więc liczymy dlugości odcinków |AB| i |BC|

mamy: \(|AB|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2} \;\;\;\;\ |BC|=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\)

stąd pole: \(P=\frac{1}{2}|AB| \cdot |BC|=24\)

[Matematyk_64]

Można też bez wyznaczania położenia punktu C, prostej AS.
Skoro Trójkąt ABC jest prostokątny, co wykazał patryk, wystarczy wyliczyć pole trójkąta ASB, który ma połowę powierzchni trójkąta ABC
Po wyznaczeniu punktów \(A=(-2,-3), B=(2,1)\) mamy, że \(\vec SB = [5,-1] \vec SA = [1,-5]\)
Pole \(\Delta ABS = \frac{1}{2} |\vec{SB} \times \vec{SA}| = \frac{1}{2} |5 \cdot (-5) - 1 \cdot(-1)| = \frac{1}{2} |-25+1| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12\)
a więc pole ABS wynosi 24

[kapon00]

Można też bez wyznaczania położenia punktu C, prostej AS.
Skoro Trójkąt ABC jest prostokątny, co wykazał patryk, wystarczy wyliczyć pole trójkąta ASB, który ma połowę powierzchni trójkąta ABC
Po wyznaczeniu punktów \(A=(-2,-3), B=(2,1)\) mamy, że \(\vec SB = [5,-1] \vec SA = [1,-5]\)
Pole \(\Delta ABS = \frac{1}{2} |\vec{SB} \times \vec{SA}| = \frac{1}{2} |5 \cdot (-5) - 1 \cdot(-1)| = \frac{1}{2} |-25+1| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12\)
a więc pole ABS wynosi 24

można, ale wtedy nie ma punktów za znalezienie współrzędnych punktu C

[janusz55]

(1)
Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

\( x^2 + 6x + y^2 - 4x -13 = 0,\)

\( (x^2 + 2\cdot 3x + 9) -9 + (y^2 -2\cdot 2x +4) -4 -13 = 0,\)

\( (x+3)^2 + (y-2)^2 -26 = 0,\)

\( (x+3)^2 + (y-2)^2 = 26.\)

(2)
Rysujemy okrąg o środku w punkcie \( O(-3, 2) \) i promieniu \( r = \sqrt{26} \approx 5.\)

(3)
Obliczamy współrzędne punktów \( A, B, \) rozwiązując układ równań okręgu i prostej:

\( \begin{cases} (x+3)^2 + (y-2)^2 = 26 \\ y = x-1 \end{cases} \)

Po wstawieniu równania prostej do równania okręgu otrzymujemy:

\( B(2,1), \ \ A(-2, -3) \)

(4)
Znajdujemy równanie prostej BC, która jest prostopadła do prostej AB i przechodzi przez punkt \( B(2, 1)\):

\( y = -x + 3.\)

(5)
Znajdujemy równanie prostej AO która przechodzi przez punkt A i środek okręgu O:

\( y = -5x -13 \)

(6)
Obliczamy współrzędne punktu \( C, \) rozwiązując układ równań prostej BC i prostej AO do której należy średnica okręgu:

\( \begin{cases} y = -x+3 \\ y = -5x -13 \end{cases} \)

\( C(-4, 7) \)

(7)
Obliczamy pole trójkąta \( ABC: \)

\(P_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \det \left[ \begin{matrix}4 & 4 \\ -2 &10 \end{matrix} \right]\right|= \frac{1}{2}\cdot|48 | = 24.\)