Pytanie o fragment dowodu.

[patryk00714]

Hej! znalazłem dowód nierówności: \(P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) \le \sum_{n=1}^{ \infty }P(A_n)\)

dowód opiera się na równości: \(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \setminus (A_1\cup A_2 \cup...\cup A_{n-1})\right]\)

i wygląda tak: \(P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=P(\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \setminus (A_1\cup A_2 \cup...\cup A_{n-1})\right]=^{(*)}\)

\(= \sum_{n=1}^{\infty}P( \left[ A_n \setminus (A_1\cup A_2 \cup...\cup A_{n-1}\right]) \le \sum_{n=1}^{ \infty }P(A_n)\)

Moje pytanie dotyczy przejścia z \((*)\), z czego to wynika?

[octahedron]

Na czym to przejście polega? Dodajesz znak sumy przed całością.

[patryk00714]

a czy to jest równe wtedy?

[octahedron]

Ja po prostu nie rozumiem - przed całym wyrażeniem dodajesz znak sumy, a samo wyrażenie pozostaje takie samo?

[patryk00714]

kurcze, źle przepisałem i zaraz poprawię!

ok poprawione, zapędziłem się z tą sumą

[octahedron]

Teraz ok . To wynika chyba z tego, że zdarzenia \(\left[ A_n \setminus (A_1\cup A_2 \cup...\cup A_{n-1})\right]\) są rozłączne.

[patryk00714]

no tak, jest nawet aksjomat, że jeżeli zdarzenia \(A_i \in F \;\;\ i\in N\) są parami rozłączne to \(P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)\)
Nie zauważyłem tego, że to jest rozłączne, a da to się jakoś uargumentować? Dzięki octahedron - znów mnie ratujesz

[octahedron]

Może coś takiego:

\(n>m
x\in\left[ A_m \setminus (A_1\cup A_2 \cup...\cup A_{m-1})\right] \Leftrightarrow x\in A_m\,\wedge\,x\not\in(A_1\cup A_2 \cup...\cup A_{m-1})
x\in\left[ A_n \setminus (A_1\cup A_2 \cup...\cup A_{n-1})\right] \Leftrightarrow x\in A_n\,\wedge\,x\not\in(A_1\cup A_2 \cup...\cup A_{n-1}) \Leftrightarrow x\not\in A_m\)

więc oba zbiory nie mają elementów wspólnych

[patryk00714]

ok, wszystko jasne dzięki przyjacielu