Dystrybuanta i gęstość

[mcmcjj]

Mamy wyznaczyć stałą \(A\) tak, by \(f(x)\) była gęstością zmiennej losowej \(x\). Następnie obliczyć dystrybuantę i \(P(0,5<X<1,5)\).

\(f(x)=\left\{ 0 \Leftrightarrow x<-1
A(x^{2}-4) \Leftrightarrow -1 \le x < 1
0 \Leftrightarrow 1 \le x < 2
A(x-5) \Leftrightarrow 2 \le x < 3
0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Teraz moje pytania.

1. Wyznaczanie stałej \(A\).

Stałą wyznaczam z zależności \(\int_{- \infty }^{ \infty }f(x)dx=1 \Leftrightarrow \int_{-1}^{1}(x^{2}-4)dx + \int_{2}^{3}(x-5)dx=1\). Czy w ten sposób ? Biorę pod uwagę tylko tę część \(f(x)\), gdzie występuje \(A\) ?

2. Dystrybuanta \(F(x)\).

Dystrybuantę liczę z \(F(x)= \int_{- \infty }^{x}f(t)dt\), gdzie \(f(t)\) - gęstość. \(F(x)\) liczę dla każdej części funkcji "klamerkowej".

3. \(P(0,5<X<1,5)=F(1,5)-F(0,5)\) ?

[octahedron]

1. W pozostałych przedziałach \(f(x)=0\), więc całka jest zerem
3. Dokładnie to
\(P(0,5<X<1,5)=\lim_{\small x\to 1,5^-}F(x)-F(0,5)\)
co ma znaczenie przy nieciągłej \(F(x)\)