Granica ciągu

[karolinaa1231]

Prosze o pomoc jak obliczyc nastepujace granice?:

1. \(\lim_{ n\to\infty } n( \sqrt{n ^{2} +2}- \sqrt{n^2+3)}\)

2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n \sin n + \cos n}{2n+n^2}\)

3.\(\lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{n^3 +2n^2 + 4n^5}\)

Dziekuje.

Proszę o sprawdzenie wyników, czy dobrzde wyliczylam.

\(\lim_{ n\to\infty } ( \frac{n+5}{n-1}) ^{3n+2} = e^3\)

\(\lim_{n \to \infty} \frac{1^2+2^2+...+n^2}{2n^4} =0\)

\(\lim_{n \to \infty} \sqrt{ \frac{(n+2)^2}{3n+5n^2} } = \frac{ \sqrt{5} }{5}\)

\(\lim_{ n\to \infty} \frac{2 ^{2n}+3^n }{2^n+4 ^{n-1} } =4\)

\(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{6^n+3*4^n+5*3^n} =1\)

\(\lim_{ n\to\infty } ( \frac{1-n^3}{n^3+2} ) ^{ \frac{1}{3} } =-1\)

[irena]

1.
\(n\cdot(\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+3})=\frac{n(n^2+2-n^2-3)}{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+3}}=\frac{-n}{n(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}}=\frac{-1}{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}}\ \to\ \frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}\)

[irena]

2.
\(\frac{n sin n+cos n}{2n+n^2}=\frac{n(sin n+\frac{1}{n}cos n)}{n(n+2)}=\frac{sin n+\frac{1}{n}cos n}{n+2}\ \to\ 0\)

[irena]

3.
\(\sqrt[n]{n^3+2n^2+4n^5}=\sqrt[n]{n^5}\cdot\sqrt[n]{4+\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}}\ \to\ 1\cdot1=1\)

[eresh]

\(\lim_{n\to\infty} \left( \frac{n+5}{n-1}\right) ^{3n+2}=\lim_{n\to\infty} \left(1+ \frac{6}{n-1}\right) ^{3n+2}=\lim_{n\to\infty}\left(\left( \left(1+ \frac{6}{n-1}\right)^{\frac{n-1}{6}\right)^{\frac{6}{n-1}}\right) ^{(3n+2)}=
\lim_{n\to\infty} \left ( \left(1+ \frac{6}{n-1}\right)^{\frac{n-1}{6}\right)^{\frac{6(3n+2))}{n-1}}=e^{18}\)

[irena]

Drugie i trzecie dobrze.

[irena]

Czwarte też dobrze.
Piąte:
\(\sqrt[n]{6^n+3\cdot4^n+5\cdot3^n}=6\cdot\sqrt[n]{1+3\cdot(\frac{4}{6})^n+5\cdot(\frac{3}{6})^n}\ \to\ 6\cdot1=6\)

[eresh]

\(\sqrt[n]{6^n}<\sqrt[n]{6^n+3 \cdot 4^n+5 \cdot 3^n}<\sqrt[n]{6^n+3 \cdot 6^n+5 \cdot 6^n}\\
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{6^n}=6\\
\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{6^n\cdot 9}=6\\
\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{6^n+3 \cdot 4^n+5 \cdot 3^n}=6\)

[eresh]

6 też jest dobrze

[irena]

Ostatnie też dobrze

[josselyn]

twierdzenuie o 3 ciagach
\(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{6^n+3*4^n+5*3^n} =6
\sqrt[n]{6^n+3*4^n+5*3^n} \le \sqrt[n]{6^n+3*6^n+5*6^n}= \sqrt[n]{9*6^n}=6 \sqrt[n]{9} \to 6
\sqrt[n]{6^n+3*4^n+5*3^n} \ge \sqrt[n]{6^n}=6
6\le \sqrt[n]{6^n+3*4^n+5*3^n} \le 6\)

[Galen]

Może pierwsze jeszcze raz...
\((\frac{n+5}{n-1})^{3n+2}=([\frac{n(1+\frac{5}{n})}{n(1+\frac{-1}{n}})]^n)^3\cdot (\frac{n+5}{n-1})^2\)
Przechodząc do granicy zastosuj wzór
\(\lim_{n\to \infty }(1+\frac{c}{n})^n=e^c\)
Masz wtedy granicę:
\(\lim_{n\to \infty } \frac{((1+ \frac{5}{n})^n)^3 }{(1+ \frac{-1}{n})^n)^3 }\cdot 1^2= \frac{(e^5)^3}{(e^{-1})^3}= \frac{e^{15}}{e^{-3}}=e^{18}\)

[karolinaa1231]

dziekuje za szczegółowe wyjasnienie ale juz wszystko jest jasne:) dziekuje serdecznie za pomoc