Relacja r w zbiorze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Relacja r w zbiorze
Niech r będzie relacją zdefiniowaną w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, określoną wzorem\(x r y \Leftrightarrow\) gdy \(lg(y) = 3x+1\) . Zbadaj, czy r jest funkcją. Jeśli tak, sprawdź czy jest to funkcja różnowartościowa i wyznacz przeciwobraz zbioru \(A = [16; 32]\) wyznaczony przez funkcję f.
-
lukasz8719
- Stały bywalec
- Posty: 852
- Rejestracja: 06 lut 2012, 17:03
- Otrzymane podziękowania: 404 razy
- Płeć:
Re: Relacja r w zbiorze
\(lg(y)=3x+1 \Leftrightarrow y=10^{3x+1}\)
To jest funkcja wykładnicza, więc warunki funkcji są oczywiste
\(\forall x \ \ \exists y \ \ x \ r \ y\)
\(x_1 r y \ \ x_2 r y \ \ \Rightarrow \ \ x_1=x_2\)
Jest różnowartościowa
\(10^{3x_1+1}=10^{3x_2+1}
3x_1+1=3x_2+1
x_1=x_2\)
Pozostaje przeciwobraz
\(lg(y)=3x+1
x= \frac{lgy-1}{3}
f^{-1}(x)= \frac{lgx-1}{3}\)
Jest to oczywiście funkcja rosnąca
\(f^{-1}(16)= \frac{lg16-1}{3}
f^{-1}(32)= \frac{lg32-1}{3}\)
więc
\(f^{-1}([16,32])=[\frac{lg16-1}{3} , \frac{lg32-1}{3}]\)
To jest funkcja wykładnicza, więc warunki funkcji są oczywiste
\(\forall x \ \ \exists y \ \ x \ r \ y\)
\(x_1 r y \ \ x_2 r y \ \ \Rightarrow \ \ x_1=x_2\)
Jest różnowartościowa
\(10^{3x_1+1}=10^{3x_2+1}
3x_1+1=3x_2+1
x_1=x_2\)
Pozostaje przeciwobraz
\(lg(y)=3x+1
x= \frac{lgy-1}{3}
f^{-1}(x)= \frac{lgx-1}{3}\)
Jest to oczywiście funkcja rosnąca
\(f^{-1}(16)= \frac{lg16-1}{3}
f^{-1}(32)= \frac{lg32-1}{3}\)
więc
\(f^{-1}([16,32])=[\frac{lg16-1}{3} , \frac{lg32-1}{3}]\)