forum.zadania.info

wykaż, że jeśli \(k \in N, n \in N i k<n\), to \({n \choose k } + { n\choose k+1 } = { n+1\choose k+1 }\)

\(\frac{n!}{k!(n-k)!}+ \frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}= \frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)} +\frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}=\)

\(= \frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}= \frac{n!k+n!+n!n-n!k}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}=\)

\(= \frac{n!(1+n)}{(k+1)!(n-k)!}= \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}={n+1\choose k+1}\)

jak uzyskać taki mianownik po pierwszym znaku równości bo nie wiem co się zadziało

Wynika to z tego
\[n!= \begin{cases}1\ {dla \ n=0} \\ n\cdot(n-1)! \ dla \ n \ge 1 \end{cases} \]
\[k!\cdot(n-k)!= k!(n-k)(n-k-1)!\]

Pozdrawiam