indukcja matematyczna

[ssskrzat]

mam takie zadanko:\(7|2^{n+2} + 3^{2n+2} , n \in N\)
i zaczynam to tak:
1* sprawdzam dla n=1
\(2^{n+2} + 3^{2n+2}=...=35\) czyli dla n=1 jest dobrze, bo 35|7=5.
2*
\(Z: 7|2^{n+2} + 3^{2n+2}

T: 7|2^{n+3} + 3^{2n+3}

D: 2^{n+2} + 3^{2n+2}=\)
i tu zaczyna się mój problem... nie wiem jak to z dowodem się dalej robi, jeśli mógłby mi ktoś pomóc to byłabym wdzięczna:)

[gall]

z złożenia \(7m=2^{n+2}+3^{2n+2},\)
\(2^{n+2}=7m-3^{2n+2}\)
dla \(n+1\)mamy
\(2^{n+3}+3^{2n+4}=2^{n+2}2+3^{2n+2}3^2\)
wstawiamy w miejsce \(2^{n+2}\)
\(2 \cdot 7m-2 \cdot 3^{2n+2}+3^{2n+2} \cdot 9=2 \cdot 7m+3^{2n+2} \cdot(-2+9)=7m \cdot 2+7 \cdot 3^{2n+2}\)

[irena]

Powinno być:
\(Z:\\7|2^{n+2}+3^{n+2}=7k\\T.\\7|2^{n+3}+3^{2(n+1)+2}=2^{n+3}+3^{2n+4}\\\\D.\\2^{n+3}+3^{2n+4}=2\cdot2^{2n+2}+9\cdot3^{2n+2}=2\cdot2^{n+3}+2\cdot3^{2n+2}+7\cdot3^{2n+2}=\\=2\cdot(2^{n+2}+3^{2n+2})+7\cdot3^{2n+2}=7(k+3^{2n+2})\)