Przestrzeń liniowa R3 wyznaczanie bazy

[justyska05]

4. W przestrzeni \(R^3\) wyznacz bazę, która zawiera następujący wektor:
a)\(x_1=[0,0,3]\)
b)\(x_1=[0,4,-3]\) i\(x_2=[1,0,2]\)

[Crazy Driver]

a) \(x_1=3\varepsilon_3\), więc wystarczy wziąć wektory \(\varepsilon_1, \varepsilon_2\)

b) można wziąć wektor normalny płaszczyzny \(\textrm{lin}\,(x_1,x_2)\) lub jakikolwiek wektor leżący poza tą płaszczyzną (nie będący kombinacją liniową wektorów \(x_1,x_2\)).

[justyska05]

a może tak na przykładzie rozwiązane bo tak nie rozumiem

[Crazy Driver]

a) np. \(\mathcal{A}= \left\{ \left[0,0,3 \right],\left[1,0,0 \right],\left[0,1,0 \right] \right\}\)

b) Musimy znaleźć jakiś wektor liniowo niezależny z \(x_1,x_2\). Najlepiej znaleźć równanie opisujące przestrzeń \(\textrm{lin}\,(x_1,x_2)\) i wziąć wektor niespełniający tego równania.

\(V=\textrm{lin}\, \left( \left[0,4,-3 \right],\left[1,0,2 \right] \right)\)

Wyznaczamy układ opisujący przestrzeń \(V\). \(\left[y_1,y_2,y_3 \right]\in V\) wtedy i tylko wtedy, gdy przy pewnych skalarach \(a,b\) spełniony jest warunek:

\(\left[y_1,y_2,y_3 \right]=a\left[0,4,-3 \right]+b\left[1,0,2 \right]\)

Dostajemy

\(\begin{cases}b=y_1\\4a=y_2\\-3a+2b=y_3 \end{cases}\)

Wygodnie jest zapisać ten układ w postaci macierzowej:

\(\left[\begin{array}{cc|c}0&1&y_1\\4&0&y_2\\-3&2&y_3\end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{cc|l}0&1&y_1\\4&0&y_2\\-3&2&y_3\end{array}\right]\stackrel{W_3\mapsto4W_3}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cc|l}0&1&y_1\\4&0&y_2\\-12&8&4y_3\end{array}\right]\stackrel{W_3\mapsto W_3+3W_2}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cc|l}0&1&y_1\\4&0&y_2\\0&8&4y_3+3y_2\end{array}\right]\)


\(\left[\begin{array}{cc|l}0&1&y_1\\4&0&y_2\\0&8&4y_3+3y_2\end{array}\right]\stackrel{W_3\mapsto W_3-8W_1}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cc|l}0&1&y_1\\4&0&y_2\\0&0&4y_3+3y_2-8y_1\end{array}\right]\)

Aby istniały skalary \(a,b\) ostatnie równanie musi być niesprzeczne i to właśnie ono opisuje przestrzeń \(V\)

\(V:\;4y_3+3y_2-8y_1=0\)

Teraz trzeba wziąć wektor \(x_3\in\mathbb{R}^3\) niespełniający tego równania i dopełnić nim bazę \(V\). Wybór należy do Ciebie.