Witam zadanie z obliczeniem granicy , proszę o sposób krok po kroku
Oblicz:
\(\ \lim_{x\to \infty }\)\(\frac{x^l^o^g^x}{(logx)^x}\)
w liczniku jest x^logx
Odp : 0
Granica ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: Granica ciągu
\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\log x}}{(\log x)^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{\log x\cdot\ln x}}{e^{x\cdot\ln(\log x)}}=\lim_{x\to\infty}e^{\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)}=e^{\lim_{x\to\infty}\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)}
\(\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)\)'=\frac{\ln x}{x\ln 10}+\frac{\log x}{x}-\ln(\log x)-\frac{1}{\log x\cdot\ln 10}=\frac{2\log x}{x}-\ln(\log x)-\frac{1}{\ln x}
\lim_{x\to\infty}\frac{2\log x}{x}-\ln(\log x)-\frac{1}{\ln x}=0-\infty-0=-\infty
\lim_{x\to\infty}\(\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)\)'=-\infty\Rightarrow \lim_{x\to\infty}\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)=-\infty
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\log x}}{(\log x)^x}=e^{\lim_{x\to\infty}\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)}=e^{-\infty}=0\)
\(\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)\)'=\frac{\ln x}{x\ln 10}+\frac{\log x}{x}-\ln(\log x)-\frac{1}{\log x\cdot\ln 10}=\frac{2\log x}{x}-\ln(\log x)-\frac{1}{\ln x}
\lim_{x\to\infty}\frac{2\log x}{x}-\ln(\log x)-\frac{1}{\ln x}=0-\infty-0=-\infty
\lim_{x\to\infty}\(\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)\)'=-\infty\Rightarrow \lim_{x\to\infty}\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)=-\infty
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\log x}}{(\log x)^x}=e^{\lim_{x\to\infty}\log x\cdot\ln x-x\ln(\log x)}=e^{-\infty}=0\)