liga matematyczna

[greta17]

Zadanie 1
Wykaż, że jeśli do iloczynu dwoch kolejnych ,liczb naturalnych dodamy sumę kwadratów tych liczb powiekszona o 5, to otrzymamy liczbe podzielna prze 6.
zadanie 2
Piszemy liczby 1,1,2,3,5,8,... w taki sposób, że począwszy od treciej, kazda nastepna liczba jest suma dwóch poprzednich. Jaka liczbą ( parzystą czy nieparzystą) jest liczba znajdujaca sie na 2011 miejscu
zadanie 3
Wykaż, że \(\sqrt{18 +8\sqrt{2} } + \sqrt{6 - 4 \sqrt{2} }\) jest liczbą całkowitą.

[kamil13151]

1) \(n(n+1)+n^2+(n+1)^2+5=3(n^2+n+2)\), teraz wystarczy pokazać, że \(n^2+n+2\) jest podzielne przez 2. Zapisujemy tak \(n(n+1)+2\), pierwszy składnik to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, czyli znajdzie się w nich liczba parzysta, a suma liczba parzystych jest podzielna przez 2.

[kamil13151]

2) Jest to ciąg Fibonacciego, jego początkowe wyrazy: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181. Łatwo można zauważyć pewną powtarzalność, co kolejne dwie liczby jest parzysta. Liczby na pozycjach 1,4,7,10,... są parzyste. \(\frac{2011-1}{3}\) jest liczbą naturalną, także jest parzysta.

[kamil13151]

3) Zauważamy, że: \(\sqrt{18 +8\sqrt{2} } =4 + \sqrt{2}\) oraz \(\sqrt{6 - 4 \sqrt{2} }=2- \sqrt{2}\)